Dados A(1,2) e C(3,-4), extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que xB >x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, A(1, 2) e C(3, -4) , que são as extremidades de uma diagonal de um quadrado. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros dois vértices, B e D , sabendo que a coordenada x de B é maior que a de D . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre diagonais de quadrados e propriedades dos vetores.

Passo 2

Vamos começar encontrando o ponto médio da diagonal AC , pois em um quadrado, as diagonais se bissetam e se cortam no ponto médio. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando isso aos pontos A(1, 2) e C(3, -4) :
M = ( 1 + 32, 2 + (-4)2 ) = ( 42, -22 ) = (2, -1)
Então, o ponto médio M é (2, -1) .

Passo 3

Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento. Portanto, a inclinação da diagonal AC multiplicada pela inclinação da diagonal BD deve ser igual a -1 .
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da diagonal AC . A fórmula para a inclinação entre dois pontos é:
m = y2 - y1x2 - x1
Para A(1, 2) e C(3, -4) :
mAC = -4 - 23 - 1 = -62 = -3
Como as diagonais são perpendiculares:
mBD times mAC = -1 implies mBD times (-3) = -1 implies mBD = 13
Então, a inclinação da diagonal BD é 13 .

Passo 4

Agora, vamos determinar o comprimento da diagonal AC , que será o mesmo que o comprimento da diagonal BD . A fórmula para a distância entre dois pontos é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Para A(1, 2) e C(3, -4) :
dAC = raiz(3 - 1)^2 + (-4 - 2)^2 = raiz2^2 + (-6)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10
Então, o comprimento da diagonal BD também é 2raiz10 .

Passo 5

Sabendo o ponto médio M(2, -1) e a inclinação mBD = 13 , podemos encontrar os pontos B e D usando a fórmula do ponto médio e as propriedades dos vetores.
Vamos considerar que B e D estão simetricamente distantes de M . Então, podemos expressar as coordenadas de B e D da seguinte forma:
B = (2 + a, -1 + b)
D = (2 - a, -1 - b)
Como a inclinação mBD = ba = 13 , temos:
b = a3
Além disso, o comprimento da diagonal BD é 2raiz10 , então:
raiz(2a)^2 + (2b)^2 = 2raiz10
raiz4a^2 + 4b^2 = 2raiz10
raiz4(a^2 + b^2) = 2raiz10
2raiza^2 + b^2 = 2raiz10
raiza^2 + b^2 = raiz10
a^2 + b^2 = 10
Substituindo b = a3 :
a^2 + ( a3 )^2 = 10
a^2 + a^29 = 10
10a^29 = 10
a^2 = 9
a = pm 3

Passo 6

Agora, vamos considerar os valores positivos e negativos de a :
  1. Se a = 3 :
b = 33 = 1
B = (2 + 3, -1 + 1) = (5, 0)
D = (2 - 3, -1 - 1) = (-1, -2)
  1. Se a = -3 :
b = -33 = -1
B = (2 - 3, -1 - 1) = (-1, -2)
D = (2 + 3, -1 + 1) = (5, 0)

Passo 7

De acordo com a condição dada na questão, a coordenada x de B deve ser maior que a de D . Observando as duas possibilidades:
  1. Primeiro caso:
B = (5, 0), D = (-1, -2)
Aqui, xB = 5 > xD = -1 .
  1. Segundo caso:
B = (-1, -2), D = (5, 0)
Aqui, xB = -1 < xD = 5 , o que não satisfaz a condição.
Portanto, a única solução válida é o primeiro caso.

Resposta

As coordenadas dos vértices são B(5, 0) e D(-1, -2) .

Exercícios relacionados