Dados
e
, extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices
e
, sabendo que xB
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos,
e
, que são as extremidades de uma diagonal de um quadrado. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros dois vértices,
e
, sabendo que a coordenada
de
é maior que a de
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre diagonais de quadrados e propriedades dos vetores.
Passo 2
Vamos começar encontrando o ponto médio da diagonal
, pois em um quadrado, as diagonais se bissetam e se cortam no ponto médio. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos pontos
e
:
Então, o ponto médio
é
.
Passo 3
Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento. Portanto, a inclinação da diagonal
multiplicada pela inclinação da diagonal
deve ser igual a
.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da diagonal
. A fórmula para a inclinação entre dois pontos é:
Para
e
:
Como as diagonais são perpendiculares:
Então, a inclinação da diagonal
é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o comprimento da diagonal
, que será o mesmo que o comprimento da diagonal
. A fórmula para a distância entre dois pontos é:
Para
e
:
Então, o comprimento da diagonal
também é
.
Passo 5
Sabendo o ponto médio
e a inclinação
, podemos encontrar os pontos
e
usando a fórmula do ponto médio e as propriedades dos vetores.
Vamos considerar que
e
estão simetricamente distantes de
. Então, podemos expressar as coordenadas de
e
da seguinte forma:
Como a inclinação
, temos:
Além disso, o comprimento da diagonal
é
, então:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos considerar os valores positivos e negativos de
:
- Se
:
- Se
:
Passo 7
De acordo com a condição dada na questão, a coordenada
de
deve ser maior que a de
. Observando as duas possibilidades:
- Primeiro caso:
Aqui,
.
- Segundo caso:
Aqui,
, o que não satisfaz a condição.
Portanto, a única solução válida é o primeiro caso.
Resposta
As coordenadas dos vértices são
e
.