Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
\mathrm{T}: \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{P}_{2}(\mathbb{R}),
\mathrm{T}\left(\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a} & \mathrm{~b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{~d} \end{array}\right]\right)=\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{d}\right)+(\mathrm{b}-\mathrm{c}) \mathrm{t} .

Passo 1

O enunciado dá uma transformação \mathrm{T}:\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})\to\mathrm{P}_{2}(\mathbb{R}) que associa a cada matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} o polinômio
\mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\left(a^{2}+d\right)+(b-c)\,t.
O que se pede: verificar se \mathrm{T} é linear. Se não for, apresentar um contraexemplo (ou seja, mostrar explicitamente duas matrizes ou um escalar e uma matriz que violem a aditividade ou a homogeneidade).]

Passo 2

Relembrando o que significa “linear” (passo didático bem mastigado): uma transformação \mathrm{T} entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores X,Y e qualquer escalar \lambda, valem simultaneamente:
\mathrm{T}(X+Y)=\mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y), \qquad \mathrm{T}(\lambda X)=\lambda\,\mathrm{T}(X).
Equivalente (mas menos forte) é verificar que \mathrm{T} preserva combinação linear em geral. Uma forma rápida de detectar não linearidade é procurar termos não lineares nas coordenadas (por exemplo a^2 é quadrático em a) e usar isso para construir um contraexemplo.

Passo 3

Vamos testar a aditividade de forma genérica. Tome duas matrizes quaisquer
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix}.
Calcule \mathrm{T}(X+Y). A soma X+Y tem primeiro elemento a+e e quarto elemento d+h, e segundo e terceiro elementos b+f e c+g. Assim
\mathrm{T}(X+Y)=\big((a+e)^{2}+(d+h)\big)+\big((b+f)-(c+g)\big)t.
Agora calcule \mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y):
\mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y)=\big(a^{2}+d\big)+(b-c)t \;+\; \big(e^{2}+h\big)+(f-g)t.
Juntando termos escalares e do coeficiente de t,
\mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y)=\big(a^{2}+e^{2}+d+h\big)+\big((b-c)+(f-g)\big)t.]

Passo 4

Compare as duas expressões: a parte do coeficiente de t coincide (porque (b+f)-(c+g)=(b-c)+(f-g)). O problema está no termo constante (termo independente de t). Expandindo (a+e)^{2} temos
(a+e)^{2}=a^{2}+2ae+e^{2}.
Portanto
\mathrm{T}(X+Y)=\big(a^{2}+2ae+e^{2}+d+h\big)+\big((b-c)+(f-g)\big)t.
Comparando com \mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y)=\big(a^{2}+e^{2}+d+h\big)+\cdots, vemos o termo extra 2ae em \mathrm{T}(X+Y). Esse termo só some em casos especiais (quando a=0 ou e=0), mas em geral está presente. Logo a aditividade falha sempre que a e e forem simultaneamente não nulos.

Passo 5

Agora um contraexemplo explícito e numérico — bem direto, fácil de checar na prova. Tome
X=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule \mathrm{T}(X), \mathrm{T}(Y) e \mathrm{T}(X+Y).
\mathrm{T}(X)= (1^{2}+0)+(0-0)t = 1, \qquad \mathrm{T}(Y)=1.
A soma é \mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y)=1+1=2. Já
X+Y=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad\text{logo}\quad \mathrm{T}(X+Y)=(2^{2}+0)+(0-0)t=4.
Temos \mathrm{T}(X+Y)=4 \neq 2=\mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y). Isso mostra explicitamente que \mathrm{T} não preserva adição, portanto não é linear.]

Passo 6

Para reforçar: também a homogeneidade falha com o mesmo exemplo. Se \lambda=2 e X como acima,
\mathrm{T}(2X)=\mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right)=4,
enquanto
2\,\mathrm{T}(X)=2\cdot 1=2,
portanto \mathrm{T}(2X)\neq 2\,\mathrm{T}(X). Outra maneira de ver a mesma não linearidade.]

Resposta

Não é linear. Contraexemplo: X=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, pois \mathrm{T}(X)=1, \mathrm{T}(Y)=1 mas \mathrm{T}(X+Y)=4\neq2=\mathrm{T}(X)+\mathrm{T}(Y).]

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