Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
,
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
que associa a cada matriz
o polinômio
O que se pede: verificar se
é linear. Se não for, apresentar um contraexemplo (ou seja, mostrar explicitamente duas matrizes ou um escalar e uma matriz que violem a aditividade ou a homogeneidade).]
Passo 2
Relembrando o que significa “linear” (passo didático bem mastigado): uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente:
Equivalente (mas menos forte) é verificar que
preserva combinação linear em geral. Uma forma rápida de detectar não linearidade é procurar termos não lineares nas coordenadas (por exemplo
é quadrático em
) e usar isso para construir um contraexemplo.
Passo 3
Vamos testar a aditividade de forma genérica. Tome duas matrizes quaisquer
Calcule
. A soma
tem primeiro elemento
e quarto elemento
, e segundo e terceiro elementos
e
. Assim
Agora calcule
:
Juntando termos escalares e do coeficiente de
,
Passo 4
Compare as duas expressões: a parte do coeficiente de
coincide (porque
). O problema está no termo constante (termo independente de
). Expandindo
temos
Portanto
Comparando com
, vemos o termo extra
em
. Esse termo só some em casos especiais (quando
ou
), mas em geral está presente. Logo a aditividade falha sempre que
e
forem simultaneamente não nulos.
Passo 5
Agora um contraexemplo explícito e numérico — bem direto, fácil de checar na prova. Tome
Calcule
,
e
.
A soma é
. Já
Temos
. Isso mostra explicitamente que
não preserva adição, portanto não é linear.]
Passo 6
Para reforçar: também a homogeneidade falha com o mesmo exemplo. Se
e
como acima,
enquanto
portanto
. Outra maneira de ver a mesma não linearidade.]
Resposta
Não é linear. Contraexemplo:
,
, pois
,
mas
.]