Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{z}, \mathrm{y}+\mathrm{z}, \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z});

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear candidata \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+y+2z).
O que se pede: verificar se essa transformação é linear; se não for, apresentar um contraexemplo.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^3.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^3.
  • Regra explícita das componentes de \mathrm{T} em função de x,y,z.

Passo 2

O que significa ser linear (uma breve aula): uma transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear quando preserva somas e multiplicação por escalar. Formalmente, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R} deve valer:
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
e
\mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Uma forma equivalente e útil é verificar que \mathrm{T} preserva combinações lineares, isto é, para quaisquer escalares a,b e vetores u,v vale
\mathrm{T}(a u + b v) = a\,\mathrm{T}(u) + b\,\mathrm{T}(v).
Vou usar as duas propriedades básicas (aditividade e homogeneidade) de forma explícita, com cálculos passo a passo.

Passo 3

Verificando a propriedade de aditividade. Tome
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2).
Calcular u+v e aplicar \mathrm{T}:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando \mathrm{T} pela regra dada:
\mathrm{T}(u+v)=\big((x_1+x_2)+(z_1+z_2),\;(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)\big).
Agora escrevendo cada componente separadamente e agrupando termos semelhantes:
\mathrm{T}(u+v)=\big(x_1+z_1 + x_2+z_2,\; y_1+z_1 + y_2+z_2,\; x_1+y_1+2z_1 + x_2+y_2+2z_2\big).
Por outro lado, calcule \mathrm{T}(u) e \mathrm{T}(v) separadamente:
\mathrm{T}(u)=(x_1+z_1,\; y_1+z_1,\; x_1+y_1+2z_1),
\mathrm{T}(v)=(x_2+z_2,\; y_2+z_2,\; x_2+y_2+2z_2).
Somando componente a componente:
\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)=\big(x_1+z_1 + x_2+z_2,\; y_1+z_1 + y_2+z_2,\; x_1+y_1+2z_1 + x_2+y_2+2z_2\big).
Comparando as expressões, obtemos
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
Logo a aditividade está verificada.

Passo 4

Verificando a propriedade de homogeneidade (multiplicação por escalar). Tome um escalar c\in\mathbb{R} e um vetor u=(x,y,z). Então
c\,u=(c x,\; c y,\; c z).
Aplicando \mathrm{T} à combinação c\,u:
\mathrm{T}(c u)=\big(c x + c z,\; c y + c z,\; c x + c y + 2 c z\big).
Fatorando c em cada componente:
\mathrm{T}(c u)=c\big(x+z,\; y+z,\; x+y+2z\big).
Mas a parte dentro do parêntese é exatamente \mathrm{T}(x,y,z)=\mathrm{T}(u). Portanto
\mathrm{T}(c u)=c\,\mathrm{T}(u).
A homogeneidade está verificada.

Passo 5

Outra forma prática de ver que \mathrm{T} é linear é escrever a transformação como multiplicação por uma matriz. Se escrevermos vetores colunas v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, queremos uma matriz A tal que \mathrm{T}(v)=A v. Pelas componentes:
  • primeira componente x+z corresponde à primeira linha (1\;0\;1),
  • segunda componente y+z corresponde à segunda linha (0\;1\;1),
  • terceira componente x+y+2z corresponde à terceira linha (1\;1\;2).
Portanto a matriz associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},
e para todo v\in\mathbb{R}^3 temos \mathrm{T}(v)=A v. Como transformações definidas por multiplicação por matriz são lineares, isso confirma a linearidade (este é um argumento alternativo e rápido).]

Resposta

A transformação \mathrm{T} é linear.
Matriz associada: \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados