Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}),
T(x, y)=\left[\begin{array}{cc} 2 y & 3 x \\\\ -y & x+2 y \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear candidata T:\mathbb{R}^2\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
A tarefa é verificar se T é linear. Se não for, apresentar um contraexemplo (um par de vetores ou um escalar que viole as propriedades de linearidade).
Passo 2
Lembrando, para T ser linear é necessário e suficiente que valham, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R},
Assim, T(cu)=cT(u) para todo escalar c. Logo a homogeneidade também vale.
Passo 5
Uma observação alternativa, útil para ver a linearidade de forma rápida: cada entrada de T(x,y) é uma combinação linear (sem termo constante) das coordenadas x e y. Pode-se escrever