Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}),
T(x, y)=\left[\begin{array}{cc} 2 y & 3 x \\\\ -y & x+2 y \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear candidata T:\mathbb{R}^2\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(x,y)=\begin{bmatrix}2y & 3x\\\\ -y & x+2y\end{bmatrix}.
A tarefa é verificar se T é linear. Se não for, apresentar um contraexemplo (um par de vetores ou um escalar que viole as propriedades de linearidade).

Passo 2

Lembrando, para T ser linear é necessário e suficiente que valham, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui vamos verificar essas duas propriedades diretamente (fazer passo a passo para não ficar dúvida).

Passo 3

Primeiro escrevo u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Calculo T(u+v):
T\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =\begin{bmatrix} 2(y_1+y_2) & 3(x_1+x_2)\\[4pt] -(y_1+y_2) & (x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \end{bmatrix}.
Agora distribuo somas dentro da matriz:
T(x_1+x_2,y_1+y_2) =\begin{bmatrix} 2y_1+2y_2 & 3x_1+3x_2\\[4pt] - y_1 - y_2 & x_1+x_2+2y_1+2y_2 \end{bmatrix}.
Reagrupando por blocos:
T(x_1+x_2,y_1+y_2) =\begin{bmatrix} 2y_1 & 3x_1\\[4pt] - y_1 & x_1+2y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y_2 & 3x_2\\[4pt] - y_2 & x_2+2y_2 \end{bmatrix} = T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2).
Portanto a propriedade aditiva T(u+v)=T(u)+T(v) está satisfeita.]

Passo 4

Agora verifico a homogeneidade. Tome c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
T(c\,u)=T(cx,cy)=\begin{bmatrix}2(cy) & 3(cx)\\\\ -(cy) & (cx)+2(cy)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}c(2y) & c(3x)\\\ c(-y) & c(x+2y)\end{bmatrix} = c\begin{bmatrix}2y & 3x\\\\ -y & x+2y\end{bmatrix} = c\,T(x,y).
Assim, T(cu)=cT(u) para todo escalar c. Logo a homogeneidade também vale.

Passo 5

Uma observação alternativa, útil para ver a linearidade de forma rápida: cada entrada de T(x,y) é uma combinação linear (sem termo constante) das coordenadas x e y. Pode-se escrever
T(x,y)=x\begin{bmatrix}0 & 3\\[2pt] 0 & 1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}2 & 0\\[2pt] -1 & 2\end{bmatrix}.
Qualquer transformação que seja da forma T(x,y)=xA+yB com matrizes fixas A,B é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar por construção.]

Resposta

T é linear.

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