Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\mathrm{T}(-2,3)=(-1,0,1), \quad \mathrm{T}(1,-2)=(0,-1,0) .
(a) Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y});
(b) Calcule a matriz [\mathrm{T}]_{\hat{\mathrm{B}}}, onde
\mathrm{A}=\{(-2,3),(1,-2)\}, \quad \mathrm{B}=\{(-1,0,1),(0,-1,0),(1,1,0)\} ;
(c) Determine u e v tais que \mathrm{T}(u)=(-3,-2,3) e \mathrm{T}(v)=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e duas imagens:
T(-2,3)=(-1,0,1),\qquad T(1,-2)=(0,-1,0).
Pede-se:
(a) determinar uma fórmula para T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2;
(b) calcular a matriz de T relativa às bases
A=\{(-2,3),(1,-2)\}\quad\text{(base do domínio)}í
e
B=\{(-1,0,1),(0,-1,0),(1,1,0)\}\quad\text{(base do contradomínio)};í
(c) encontrar vetores u e v tais que T(u)=(-3,-2,3) e T(v)=(0,0,0).
Informações relevantes dadas:
  • Imagens de dois vetores do domínio (os vetores de A).
  • A base B do espaço imagem é composta por três vetores em \mathbb{R}^3.
  • A contém exatamente dois vetores (suficientes para determinar T em todo \mathbb{R}^2 se são independentes).

Passo 2

Primeiro precisamos expressar um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2\) como combinação linear dos vetores da base \(A\). Escrevemos \[(x,y)=a(-2,3)+b(1,-2)
e resolvemos para a e b em termos de x e y. Isso gera o sistema linear em termos das componentes:
\begin{cases} -2a + b = x,\\[4pt] 3a -2b = y. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição/eliminação passo a passo.
Da primeira equação isolamos b\]: \[b = x + 2a.\] Substituindo na segunda: \[3a -2(x+2a) = y.\] Desenvolvendo: \[3a -2x -4a = y \quad\Rightarrow\quad -a -2x = y.\] Portanto \[-a = y + 2x \quad\Rightarrow\quad a = -y -2x.\] Agora voltamos a \(b = x + 2a:
b = x + 2(-y -2x) = x -2y -4x = -3x -2y.
Conclusão desta etapa: os coeficientes que representam (x,y) na base A são
a = -2x - y,\qquad b = -3x - 2y.
(é a mesma escrita apenas trocando a ordem de termos: a=-y-2x equivale a a=-2x-y.)]

Passo 3

Agora uso linearidade de T: se (x,y)=a(-2,3)+b(1,-2), então
T(x,y)=a\,T(-2,3)+b\,T(1,-2).
Substituo os valores conhecidos T(-2,3)=(-1,0,1) e T(1,-2)=(0,-1,0):
T(x,y)=a(-1,0,1)+b(0,-1,0).
Somando coordenadas:
T(x,y)=(-a,\,-b,\,a).
Agora substituo a e b em função de x e y (obtidos no passo anterior):
a = -2x - y,\qquad b = -3x - 2y.
Logo
\begin{aligned} T(x,y) &= \big(-(-2x-y),\; -(-3x-2y),\; -2x-y\big)\\[4pt] &= \big(2x+y,\; 3x+2y,\; -2x-y\big). \end{aligned}
Aqui eu obtive a fórmula explícita de T: cada componente é uma forma linear em x,y. Isso responde a (a) — a expressão geral de T(x,y).]

Passo 4

Explico rapidamente a lógica de (b): a matriz de T relativa às bases A (do domínio) e B (do contradomínio) é a matriz cujas colunas são as coordenadas, na base B, das imagens dos vetores da base A, tomadas na mesma ordem. Ou seja, para cada vetor w\in A calcula-se T(w) e escreve-se T(w) como combinação linear dos vetores de B; essa combinação dá a coluna correspondente.
Aplicamos isso às duas imagens dadas:
  • Para T(-2,3)=(-1,0,1): observe que esse vetor é exatamente o primeiro vetor de B, porque o primeiro vetor de B é (-1,0,1). Então em coordenadas na base B ele é
[\,T(-2,3)\,]_B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para T(1,-2)=(0,-1,0): esse é exatamente o segundo vetor de B, então
[\,T(1,-2)\,]_B = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de T relativa às bases A (colunas indexadas pelos vetores de A) e B (linhas indexadas pelos vetores de B) tem essas colunas, ou seja é a matriz 3\times 2
[T]_{A}^{B}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvo (c). Primeiro u\) tal que \(T(u)=(-3,-2,3)\). Uso a fórmula encontrada: \[T(x,y)=(2x+y,\;3x+2y,\;-2x-y).
Devemos resolver o sistema
\begin{cases} 2x+y = -3,\\[4pt] 3x+2y = -2,\\[4pt] -2x-y = 3. \end{cases}
Note que a terceira equação é simplesmente a negativa da primeira (multiplicando a primeira por (-1] obtém-se a terceira), então só precisamos resolver as duas primeiras, que formam um sistema consistente.
Da primeira temos y=-3-2x. Substituindo na segunda:
3x + 2(-3-2x) = -2 \quad\Rightarrow\quad 3x -6 -4x = -2.
Isto dá -x -6 = -2, logo -x = 4 e x=-4. Então
y = -3 -2(-4) = -3 +8 = 5.
Portanto u = (-4,5) é uma solução e é a única solução para esse sistema (as três equações são compatíveis e determinam x,y unicamente).]

Passo 6

Agora encontro v tal que T(v)=(0,0,0), ou seja o núcleo de T. Resolvo
T(x,y)=(2x+y,\;3x+2y,\;-2x-y)=(0,0,0).
Das primeiras duas equações:
2x+y=0,\qquad 3x+2y=0.
Da primeira y=-2x. Substituindo na segunda:
3x + 2(-2x) = 3x -4x = -x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Então y=0. Logo o único vetor com imagem nula é o vetor nulo v=(0,0). Em outras palavras, o núcleo de T é trivial.
Breve interpretação: como as imagens dos vetores da base A (do domínio) são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a transformação é injetora e tem apenas o vetor zero no núcleo.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y)=\big(2x+y,\;3x+2y,\;-2x-y\big)
(b)
[T]_{A}^{B}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}
(c) u = (-4,5)\n v = (0,0)]

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