(c) Determine u e v tais que \mathrm{T}(u)=(-3,-2,3) e \mathrm{T}(v)=(0,0,0).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e duas imagens:
T(-2,3)=(-1,0,1),\qquad T(1,-2)=(0,-1,0).
Pede-se:
(a) determinar uma fórmula para T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2;
(b) calcular a matriz de T relativa às bases
A=\{(-2,3),(1,-2)\}\quad\text{(base do domínio)}
e
B=\{(-1,0,1),(0,-1,0),(1,1,0)\}\quad\text{(base do contradomínio)};
(c) encontrar vetores u e v tais que T(u)=(-3,-2,3) e T(v)=(0,0,0).
Informações relevantes dadas:
Imagens de dois vetores do domínio (os vetores de A).
A base B do espaço imagem é composta por três vetores em \mathbb{R}^3.
A contém exatamente dois vetores (suficientes para determinar T em todo \mathbb{R}^2 se são independentes).
Passo 2
Primeiro precisamos expressar um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2\) como combinação linear dos vetores da base \(A\). Escrevemos
\[(x,y)=a(-2,3)+b(1,-2)
e resolvemos para a e b em termos de x e y. Isso gera o sistema linear em termos das componentes:
\begin{cases} -2a + b = x,\\[4pt] 3a -2b = y. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição/eliminação passo a passo.
Da primeira equação isolamos b\]:
\[b = x + 2a.\]
Substituindo na segunda:
\[3a -2(x+2a) = y.\]
Desenvolvendo:
\[3a -2x -4a = y \quad\Rightarrow\quad -a -2x = y.\]
Portanto
\[-a = y + 2x \quad\Rightarrow\quad a = -y -2x.\]
Agora voltamos a \(b = x + 2a:
b = x + 2(-y -2x) = x -2y -4x = -3x -2y.
Conclusão desta etapa: os coeficientes que representam (x,y) na base A são
a = -2x - y,\qquad b = -3x - 2y.
(é a mesma escrita apenas trocando a ordem de termos: a=-y-2x equivale a a=-2x-y.)]
Passo 3
Agora uso linearidade de T: se (x,y)=a(-2,3)+b(1,-2), então
T(x,y)=a\,T(-2,3)+b\,T(1,-2).
Substituo os valores conhecidos T(-2,3)=(-1,0,1) e T(1,-2)=(0,-1,0):
T(x,y)=a(-1,0,1)+b(0,-1,0).
Somando coordenadas:
T(x,y)=(-a,\,-b,\,a).
Agora substituo a e b em função de x e y (obtidos no passo anterior):
Aqui eu obtive a fórmula explícita de T: cada componente é uma forma linear em x,y. Isso responde a (a) — a expressão geral de T(x,y).]
Passo 4
Explico rapidamente a lógica de (b): a matriz de T relativa às bases A (do domínio) e B (do contradomínio) é a matriz cujas colunas são as coordenadas, na base B, das imagens dos vetores da base A, tomadas na mesma ordem. Ou seja, para cada vetor w\in A calcula-se T(w) e escreve-se T(w) como combinação linear dos vetores de B; essa combinação dá a coluna correspondente.
Aplicamos isso às duas imagens dadas:
Para T(-2,3)=(-1,0,1): observe que esse vetor é exatamente o primeiro vetor de B, porque o primeiro vetor de B é (-1,0,1). Então em coordenadas na base B ele é
Portanto a matriz de T relativa às bases A (colunas indexadas pelos vetores de A) e B (linhas indexadas pelos vetores de B) tem essas colunas, ou seja é a matriz 3\times 2
Note que a terceira equação é simplesmente a negativa da primeira (multiplicando a primeira por (-1] obtém-se a terceira), então só precisamos resolver as duas primeiras, que formam um sistema consistente.
Da primeira temos y=-3-2x. Substituindo na segunda:
Então y=0. Logo o único vetor com imagem nula é o vetor nulo v=(0,0). Em outras palavras, o núcleo de T é trivial.
Breve interpretação: como as imagens dos vetores da base A (do domínio) são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a transformação é injetora e tem apenas o vetor zero no núcleo.