Seja (
) um anel comutativo com unidade. Mostre que (
) é um anel comutativo com unidade, sendo
são definidas para todo
via
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define, para quaisquer
, as operações
e
O que se pede: mostrar que
é um anel comutativo com unidade. Ou seja, precisamos provar que
-
é um grupo abeliano (grupo comutativo) em relação à adição ; - a multiplicação
é associativa e comutativa em ; -
distribui sobre (as duas distributividades); - existe elemento unitário multiplicativo em
.
As variáveisque aparecerão pertencem a , o anel comutativo com unidade dado no enunciado.
Passo 2
Fechamento de
. Precisamos ver que se
então
.
Pela definição,
Pela definição,
Como
e
é fechado para a soma, temos
; análogo para
. Logo
. Portanto
é fechada em
.
Passo 3
Associatividade de
. Tomemos
. Calculamos:
e
Como as duas expressões coincidem (a soma em
é associativa), concluímos que
é associativa em
.
Passo 4
Elemento neutro e inversos aditivos. Mostramos que
é o neutro aditivo e que o inverso de
é
.
Para o neutro:
Para o neutro:
pois
é neutro em
. Para o inverso:
Portanto cada elemento tem inverso aditivo e existe neutro; junto com associatividade temos que
é um grupo.
Passo 5
Comutatividade de
. Para
,
pois a soma em
é comutativa. Logo
é um grupo abeliano.
Passo 6
Fechamento de
. Para
,
Como
é fechado para multiplicação,
. Então
. Assim
é fechada.
Passo 7
Associatividade de
. Tomemos
. Calculamos os dois modos de associar:
e
Como em
a multiplicação é associativa, os dois lados coincidem. Logo
é associativa em
.
Passo 8
Comutatividade de
. Para
,
porque a multiplicação em
é comutativa. Então
é comutativa.
Passo 9
Elemento neutro multiplicativo. Mostramos que
é o neutro para
. Para qualquer
,
e simetricamente
. Portanto
é unidade multiplicativa em
.
Passo 10
Distributividade de
sobre
. Devemos verificar as duas leis:
- Esquerda:
Como em
vale distributividade,
e
. Assim
ou seja
- Direita: a verificação é análoga, usando a distributividade em
:
Portanto a multiplicação distribui sobre a adição em ambas as direções.
Passo 11
Conclusão e observações finais. Reunindo os resultados:
-
é um grupo abeliano com neutro aditivo e inversos . - A multiplicação
é fechada, associativa e comutativa; possui unidade . -
distribui sobre .
Essas propriedades são exatamente as exigidas para queseja um anel comutativo com unidade.