Seja ( A,+, \cdot ) um anel comutativo com unidade. Mostre que ( A^{2}, \oplus, \odot ) é um anel comutativo com unidade, sendo A^{2}=A \times A, \mathrm{e} \oplus \mathrm{e} \odot são definidas para todo (a, b),(c, d) \in A^{2} via
(a, b) \oplus(c, d)=(a+c, b+d) \quad \text { e } \quad(a, b) \odot(c, d)=(a c, b d)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A^{2}=A\times A e define, para quaisquer (a,b),(c,d)\in A^{2}, as operações
(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)
e
(a,b)\odot(c,d)=(ac,bd).
O que se pede: mostrar que \bigl(A^{2},\oplus,\odot\bigr) é um anel comutativo com unidade. Ou seja, precisamos provar que
  • \bigl(A^{2},\oplus\bigr) é um grupo abeliano (grupo comutativo) em relação à adição \oplus;
  • a multiplicação \odot é associativa e comutativa em A^{2};
  • \odot distribui sobre \oplus (as duas distributividades);
  • existe elemento unitário multiplicativo em A^{2}.
    As variáveis a,b,c,d,e,f que aparecerão pertencem a A, o anel comutativo com unidade dado no enunciado.

Passo 2

Fechamento de \oplus. Precisamos ver que se (a,b),(c,d)\in A^{2} então (a,b)\oplus(c,d)\in A^{2}.
Pela definição,
(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d).
Como a,c\in A e A é fechado para a soma, temos a+c\in A; análogo para b+d. Logo (a+c,b+d)\in A^{2}. Portanto \oplus é fechada em A^{2}.

Passo 3

Associatividade de \oplus. Tomemos (a,b),(c,d),(e,f)\in A^{2}. Calculamos:
\bigl((a,b)\oplus(c,d)\bigr)\oplus(e,f)=(a+c,b+d)\oplus(e,f)=(a+c+e,\;b+d+f),
e
(a,b)\oplus\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr)=(a,b)\oplus(c+e,d+f)=(a+c+e,\;b+d+f).
Como as duas expressões coincidem (a soma em A é associativa), concluímos que \oplus é associativa em A^{2}.

Passo 4

Elemento neutro e inversos aditivos. Mostramos que (0,0) é o neutro aditivo e que o inverso de (a,b) é ( -a, -b).
Para o neutro:
(a,b)\oplus(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b),
pois 0 é neutro em A. Para o inverso:
(a,b)\oplus(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0).
Portanto cada elemento tem inverso aditivo e existe neutro; junto com associatividade temos que \bigl(A^{2},\oplus\bigr) é um grupo.

Passo 5

Comutatividade de \oplus. Para (a,b),(c,d)\in A^{2},
(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)\oplus(a,b),
pois a soma em A é comutativa. Logo \bigl(A^{2},\oplus\bigr) é um grupo abeliano.

Passo 6

Fechamento de \odot. Para (a,b),(c,d)\in A^{2},
(a,b)\odot(c,d)=(ac,bd).
Como A é fechado para multiplicação, ac,bd\in A. Então (ac,bd)\in A^{2}. Assim \odot é fechada.

Passo 7

Associatividade de \odot. Tomemos (a,b),(c,d),(e,f)\in A^{2}. Calculamos os dois modos de associar:
\bigl((a,b)\odot(c,d)\bigr)\odot(e,f)=(ac,bd)\odot(e,f)=(ac\cdot e,\;bd\cdot f)=(a(ce),b(df)),
e
(a,b)\odot\bigl((c,d)\odot(e,f)\bigr)=(a,b)\odot(ce,df)=(a\cdot ce,\;b\cdot df)=(a(ce),b(df)).
Como em A a multiplicação é associativa, os dois lados coincidem. Logo \odot é associativa em A^{2}.

Passo 8

Comutatividade de \odot. Para (a,b),(c,d)\in A^{2},
(a,b)\odot(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\odot(a,b),
porque a multiplicação em A é comutativa. Então \odot é comutativa.

Passo 9

Elemento neutro multiplicativo. Mostramos que (1,1) é o neutro para \odot. Para qualquer (a,b)\in A^{2},
(1,1)\odot(a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b),
e simetricamente (a,b)\odot(1,1)=(a,b). Portanto (1,1) é unidade multiplicativa em A^{2}.

Passo 10

Distributividade de \odot sobre \oplus. Devemos verificar as duas leis:
  1. Esquerda:
(a,b)\odot\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr)=(a,b)\odot(c+e,d+f)=(a(c+e),\;b(d+f)).
Como em A vale distributividade, a(c+e)=ac+ae e b(d+f)=bd+bf. Assim
(a(c+e),b(d+f))=(ac+ae,bd+bf)=(ac,bd)\oplus(ae,bf),
ou seja
(a,b)\odot\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr)=(a,b)\odot(c,d)\oplus(a,b)\odot(e,f).
  1. Direita: a verificação é análoga, usando a distributividade em A:
\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr)\odot(a,b)=(c+e,d+f)\odot(a,b)=((c+e)a,(d+f)b)=(ca+ea,db+fb)
=(ca,db)\oplus(ea,fb)=(c,d)\odot(a,b)\oplus(e,f)\odot(a,b).
Portanto a multiplicação distribui sobre a adição em ambas as direções.

Passo 11

Conclusão e observações finais. Reunindo os resultados:
  • \bigl(A^{2},\oplus\bigr) é um grupo abeliano com neutro aditivo (0,0) e inversos ( -a,-b).
  • A multiplicação \odot é fechada, associativa e comutativa; possui unidade (1,1).
  • \odot distribui sobre \oplus.
    Essas propriedades são exatamente as exigidas para que \bigl(A^{2},\oplus,\odot\bigr) seja um anel comutativo com unidade.

Resposta

\bigl(A^{2},\oplus,\odot\bigr) é um anel comutativo com unidade; o neutro aditivo é (0,0) e a unidade multiplicativa é (1,1).

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