Vimos em aula que ( \mathbb{Z}_{n},+, \cdot ) é um anel comutativo com unidade. Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em:
\left(\mathbb{Z}_{8},+, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os elementos inversíveis (ou unidades) em \left(\mathbb{Z}_{8},+, \cdot\right) e dar, para cada um, seu respectivo inverso multiplicativo.
Informações que temos do enunciado: \mathbb{Z}_{8} é o conjunto dos restos da divisão por 8, ou seja os elementos \{0,1,2,3,4,5,6,7\}, com adição e multiplicação tomadas módulo 8.

Passo 2

Definição e critério prático (explicação didática): um elemento a\in\mathbb{Z}_{8} é inversível se existe b\in\mathbb{Z}_{8} tal que
a\cdot b \equiv 1 \pmod{8}.
Um critério muito útil: em \mathbb{Z}_{n} um elemento a é inversível se, e somente se, \gcd(a,n)=1. Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e com exemplo prático.
Justificativa curta e intuitiva:
  • Se existe b com ab\equiv1\pmod{8}, então ab-1 é múltiplo de 8, logo qualquer divisor comum de a e 8 também divide 1. Isso força \gcd(a,8)=1.
  • Recíproco: se \gcd(a,8)=1, pelo algoritmo de Euclides estendido existem inteiros x,y tais que
a x + 8 y = 1.
Reduzindo modulo 8 obtemos a x \equiv 1 \pmod{8}, ou seja x (mod 8) é o inverso multiplicativo de a.
Observação prática: para \mathbb{Z}_{8} basta testar \gcd(a,8) para cada a\in\{0,\dots,7\}. Se for 1, então a tem inverso.

Passo 3

Aplicando o critério \gcd(a,8)=1 a cada elemento:
\gcd(0,8)=8\quad\Rightarrow\quad 0\\ \text{não é inversível},ãéí
\gcd(1,8)=1\quad\Rightarrow\quad 1\\ \text{é inversível},éí
\gcd(2,8)=2\quad\Rightarrow\quad 2\\ \text{não é inversível},ãéí
\gcd(3,8)=1\quad\Rightarrow\quad 3\\ \text{é inversível},éí
\gcd(4,8)=4\quad\Rightarrow\quad 4\\ \text{não é inversível},ãéí
\gcd(5,8)=1\quad\Rightarrow\quad 5\\ \text{é inversível},éí
\gcd(6,8)=2\quad\Rightarrow\quad 6\\ \text{não é inversível},ãéí
\gcd(7,8)=1\quad\Rightarrow\quad 7\\ \text{é inversível}.éí
Logo os candidatos são \{1,3,5,7\}.

Passo 4

Agora vamos encontrar explicitamente os inversos. Dois modos: (i) testar multiplicações pequenas módulo 8 ou (ii) usar o algoritmo de Euclides estendido para obter o coeficiente x com ax+8y=1. Vou mostrar um exemplo com o Euclides estendido para 3 e usar multiplicações diretas para os outros, porque é rápido em prova.
Exemplo para 3: calculamos \gcd(3,8) e obtemos os coeficientes.
8 = 2\cdot 3 + 2,
3 = 1\cdot 2 + 1,
2 = 2\cdot 1 + 0.
Voltando para expressar 1 como combinação linear:
1 = 3 - 1\cdot 2,
e como 2 = 8 - 2\cdot 3,
1 = 3 - 1\cdot(8 - 2\cdot 3) = 3 - 8 + 2\cdot 3 = 3\cdot 3 - 8\cdot 1.
Isso significa 3\cdot 3 + 8\cdot(-1)=1, então 3\cdot 3\equiv 1\pmod{8}. Portanto o inverso de 3 é 3 (ou seja 3 é seu próprio inverso).
Para os outros, multiplicamos pequeno:
1\cdot 1 = 1 \equiv 1 \pmod{8}\quad\Rightarrow\quad 1^{-1}=1.
5\cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{8}\quad\Rightarrow\quad 5^{-1}=5.
7\cdot 7 = 49 \equiv 1 \pmod{8}\quad\Rightarrow\quad 7^{-1}=7.
Observação: aqui todos os inversos encontrados são o próprio elemento (auto-inversos). Isso ocorre porque 3^2\equiv1, 5^2\equiv1 e 7^2\equiv1 módulo 8.

Passo 5

Conclusão e dica rápida para a prova: usar o critério \gcd(a,n)=1 para listar candidatos e depois achar o inverso por Euclides estendido ou por tentativa de multiplicações pequenas. Em \mathbb{Z}_{8} o processo é rápido porque são poucos elementos; em \mathbb{Z}_{p} com p primo todos os 1,\dots,p-1 são inversíveis.

Resposta

1^{-1}=1
3^{-1}=3
5^{-1}=5
7^{-1}=7

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