Vimos em aula que (
) é um anel comutativo com unidade. Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os elementos inversíveis (ou unidades) em
e dar, para cada um, seu respectivo inverso multiplicativo.
Informações que temos do enunciado: é o conjunto dos restos da divisão por
, ou seja os elementos
, com adição e multiplicação tomadas módulo
.
Informações que temos do enunciado:
Passo 2
Definição e critério prático (explicação didática): um elemento
é inversível se existe
tal que
Um critério muito útil: em
um elemento
é inversível se, e somente se,
. Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e com exemplo prático.
Justificativa curta e intuitiva:
- Se existe
com , então é múltiplo de , logo qualquer divisor comum de e também divide . Isso força . - Recíproco: se
, pelo algoritmo de Euclides estendido existem inteiros tais que
Reduzindo modulo
obtemos
, ou seja
(mod
) é o inverso multiplicativo de
.
Observação prática: para
basta testar
para cada
. Se for
, então
tem inverso.
Passo 3
Aplicando o critério
a cada elemento:
Logo os candidatos são
.
Passo 4
Agora vamos encontrar explicitamente os inversos. Dois modos: (i) testar multiplicações pequenas módulo
ou (ii) usar o algoritmo de Euclides estendido para obter o coeficiente
com
. Vou mostrar um exemplo com o Euclides estendido para
e usar multiplicações diretas para os outros, porque é rápido em prova.
Exemplo para
: calculamos
e obtemos os coeficientes.
Voltando para expressar
como combinação linear:
e como
,
Isso significa
, então
. Portanto o inverso de
é
(ou seja
é seu próprio inverso).
Para os outros, multiplicamos pequeno:
Observação: aqui todos os inversos encontrados são o próprio elemento (auto-inversos). Isso ocorre porque
,
e
módulo
.
Passo 5
Conclusão e dica rápida para a prova: usar o critério
para listar candidatos e depois achar o inverso por Euclides estendido ou por tentativa de multiplicações pequenas. Em
o processo é rápido porque são poucos elementos; em
com
primo todos os
são inversíveis.