Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T6: P(t) longrightarrow R, T6(f(t))=integral0^1 f(t) d t

Passo 1

O enunciado define a transformação
T6colon P(t)toR,
T6l(f(t)r)=integral0^1f(t),dt.
Aqui P(t) é o espaço vetorial dos polinômios em t. Para verificar que T6 é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade escalar.

Passo 2

(Propriedade da aditividade)
Sejam f(t) e g(t) dois polinômios em P(t). Então
T6l(f+gr) =integral0^1l(f(t)+g(t)r),dt =integral0^1f(t),dt+integral0^1g(t),dt =T6l(fr)+T6l(gr)
Aqui usamos a propriedade linear da integral: integral(a+b)=integral a+integral b.

Passo 3

(Propriedade da homogeneidade escalar)
Seja cinR e f(t)in P(t). Então
T6l(c,fr) =integral0^1c,f(t),dt =cintegral0^1f(t),dt =c,T6l(fr)
Usamos que constantes podem sair da integral.

Passo 4

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade escalar, concluímos que T6 é de fato uma transformação linear de P(t) em R.

Resposta

T6 é linear.

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