Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
Passo 1
O enunciado define a transformação
,
.
Aqui é o espaço vetorial dos polinômios em
. Para verificar que
é linear, precisamos checar duas propriedades: aditividade e homogeneidade escalar.
Aqui
Passo 2
(Propriedade da aditividade)
Sejam e
dois polinômios em
. Então
Sejam
Aqui usamos a propriedade linear da integral:
.
Passo 3
(Propriedade da homogeneidade escalar)
Seja e
. Então
Seja
Usamos que constantes podem sair da integral.
Passo 4
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade escalar, concluímos que
é de fato uma transformação linear de
em
.