Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T: P2(R) longrightarrow P3(R), T(a x^2+b x+c)=a x^3+b x^2+c x

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon P2(R) to P3(R), Tl(a x^2+b x+cr)=a x^3+b x^2+c x
Queremos mostrar que T é linear, isto é, que para quaisquer p,qinP2(R) e lambdainR vale
  1. T(p+q)=T(p)+T(q) (aditividade)
  2. T(lambda p)=lambda,T(p) (homogeneidade)

Passo 2

Seja
p(x)=a1x^2+b1x+c1, q(x)=a2x^2+b2x+c2
Então
p(x)+q(x)=(a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)
Aplicando T em p+q temos
T(p+q)(x) =(a1+a2)x^3+(b1+b2)x^2+(c1+c2)x
Reagrupando,
T(p+q)(x) =l(a1x^3+b1x^2+c1xr) +l(a2x^3+b2x^2+c2xr) =T(p)(x)+T(q)(x)
Logo, T(p+q)=T(p)+T(q).

Passo 3

Agora tome lambdainR. Então
lambda p(x) =(lambda a1)x^2+(lambda b1)x+(lambda c1),
e
T(lambda p)(x) =(lambda a1)x^3+(lambda b1)x^2+(lambda c1)x =lambdal(a1x^3+b1x^2+c1xr) =lambda,T(p)(x)
Portanto, T(lambda p)=lambda,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

Exercícios relacionados