Seja V espaço vetorial das funções
.
Consideremos
. Os vetores {
} são LI ou LD?
Consideremos
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) no espaço vetorial de todas as funções
. Para isso vamos ver se a única combinação linear
implica
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear nula:
Queremos mostrar que
.
Passo 3
Para isso dividimos a igualdade por
, que nunca é zero:
Passo 4
Agora examinamos o comportamento para
.
- O termo
cresce exponencialmente, - o termo
cresce polinomialmente, - o termo
tende a zero.
Como o somatório é sempre zero, o único jeito de anular a parte exponencial é ter.
Passo 5
Com
, a igualdade vira
De novo, quando
o termo
, então para cancelar
devemos ter
.
Passo 6
Por fim, com
e
obtemos
Mas
não é identicamente zero (por exemplo vale
para
), logo obrigatoriamente
.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente independentes.