Seja V espaço vetorial das funções f: R R.
Consideremos f(t)=e^2 t, g(t)=t^3 e h(t)=t. Os vetores { f, g, h} são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f(t)=e^2t, g(t)=t^3e^t, h(t)=t
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) no espaço vetorial de todas as funções RtoR. Para isso vamos ver se a única combinação linear
a,f(t)+b,g(t)+c,h(t)=0para todo tinR
implica a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
a,e^2t+b,l(t^3e^tr)+c,t=0 para todo t
Queremos mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Para isso dividimos a igualdade por e^t, que nunca é zero:
a,e^t + b,t^3 + c,t,e^-t = 0 para todo t

Passo 4

Agora examinamos o comportamento para tto+infty.
  • O termo a,e^t cresce exponencialmente,
  • o termo b,t^3 cresce polinomialmente,
  • o termo c,t,e^-t tende a zero.
    Como o somatório é sempre zero, o único jeito de anular a parte exponencial é ter a=0.

Passo 5

Com a=0, a igualdade vira
b,t^3 + c,t,e^-t = 0
De novo, quando tto+infty o termo c,t,e^-tto0, então para cancelar b,t^3 devemos ter b=0.

Passo 6

Por fim, com a=0 e b=0 obtemos
c,t,e^-t=0 para todo t
Mas t,e^-t não é identicamente zero (por exemplo vale t/e^tneq0 para tneq0), logo obrigatoriamente c=0.

Resposta

As funções f, g e h são linearmente independentes.

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