Sejam u, v in w vetores LI. Mostre que u, u+v e u+v+w são LI.

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w são vetores linearmente independentes num espaço vetorial. Vamos mostrar que a sequência u,;u+v,;u+v+w também é linearmente independente, usando a definição: uma combinação linear que resulte em zero só admite solução trivial.

Passo 2

Considere a combinação linear genérica
alpha,u ;+;beta,(u+v);+;gamma,(u+v+w);=;0

Passo 3

Usando a propriedade distributiva e agrupando os termos em u,v,w, obtém-se
(alpha+beta+gamma),u ;+;(beta+gamma),v ;+;gamma,w ;=;0

Passo 4

Como u,v,w são linearmente independentes, cada coeficiente deve ser zero:
alpha+beta+gamma=0, beta+gamma=0, gamma=0
Da última equação vem gamma=0. Substituindo em beta+gamma=0 beta=0, e então em alpha+beta+gamma=0 segue alpha=0.

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem a combinação linear são alpha=0, beta=0 e gamma=0. Portanto, u,;u+v,;u+v+w são linearmente independentes.

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