Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T5: R^2 longrightarrow M2(R), T5(x, y)=[rrx+2 y & 0 1 & y]

Passo 1

O enunciado define a transformação
T5colon R^2to M2(R), T5(x,y) =x+2y & 0 [6pt]1 & y
e pede para verificar se ela é linear. Para isso precisamos usar a definição: T é linear se e somente se
1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,vinR^2, e
2. T(c,u)=c,T(u) para todo uinR^2 e todo escalar cinR.
Uma forma rápida de testar é calcular T(0,0) e ver se dá a matriz zero.]

Passo 2

Calculemos
T5(0,0) =0+2cdot0 & 0 [3pt]1 & 0 =0 & 0 [3pt]1 & 0
Se T5 fosse linear, teríamos T5(0,0) igual à matriz zero de M2(R). Mas aqui aparece o valor 1 no canto inferior esquerdo, ou seja,
T5(0,0)neq0 & 0 [3pt]0 & 0
Isso já mostra que T5 não preserva o vetor zero, logo não satisfaz a propriedade da linearidade.]

Resposta

A transformação T5 não é linear.

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