(0,75) \operatorname{Sejam} \mathcal{B}=\{(1,2),(2,3)\} e \mathcal{B}^{\prime}=\{(1,1),(1,-1)\}. Então, o determinante da matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} é igual a:
a) -2
b) 2
c) 1
d) -\frac{1}{2}
e) \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz de mudança de base [I]_{\mathcal B'}^{\mathcal B}, ou seja, a matriz que leva as coordenadas de um vetor em \mathcal B para suas coordenadas em \mathcal B'. Para montá-la, vamos expressar cada vetor de \mathcal B na base \mathcal B'.

Passo 2

Vamos escrever o primeiro vetor de \mathcal B\), que é \((1,2)\), como combinação linear de \(\mathcal B'=\{(1,1),(1,-1)\}\). Procuramos \(c,d\) tais que \[c\,(1,1)+d\,(1,-1)=(1,2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c+d=1,\\\ c-d=2. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2c=3\], logo \(c=\tfrac32. Então d=1-c=1-\tfrac32=-\tfrac12.

Passo 3

Agora escrevemos o segundo vetor de \mathcal B\), que é \((2,3)\), na base \(\mathcal B'\). Achamos \(c',d'\) tais que \[c'\,(1,1)+d'\,(1,-1)=(2,3),
isto é,
\begin{cases} c'+d'=2,\\\ c'-d'=3. \end{cases}
Somando dá 2c'=5\], então \(c'=\tfrac52 e d'=2-\tfrac52=-\tfrac12.

Passo 4

A matriz de mudança de base [I]_{\mathcal B'}^{\mathcal B} tem colunas formadas pelas coordenadas que acabamos de achar:
[I]_{\mathcal B'}^{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \tfrac32 & \tfrac52\\\\ -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det \begin{pmatrix} \tfrac32 & \tfrac52\\\\ -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix} = \tfrac32\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\;-\;\tfrac52\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) =-\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{4} =\tfrac{2}{4} =\tfrac12.

Resposta

\tfrac12 (alternativa e) )

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