Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de f(x, y, z) sobre a região dada.
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 ; x^2+y^2+z^2 <= 2 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre a região onde . Vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com funções e regiões que têm simetria radial, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração: x^2 + y^2 + z^2 - 2z <= 0 . Isso parece uma equação de uma esfera, certo? Vamos reescrever para ver melhor:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 <= 1
Completa o quadrado em relação a z:
Então, a região é uma esfera de raio 1, centrada no ponto (0, 0, 1).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembre-se que em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume é .

Passo 4

A função que estamos integrando é . Em coordenadas esféricas, isso simplifica para , porque .

Passo 5

Vamos identificar os limites de integração. Como a região é uma esfera de raio 1 centrada em (0, 0, 1), em coordenadas esféricas isso corresponde a:
  • varia de 0 a 2 \cos\phi \ (isso vem da equação da esfera na coordenada esférica)
  • varia de 0 a (porque a esfera está acima do plano xy)
  • varia de 0 a (varrendo todo o círculo ao redor do eixo z)

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^2cosphi rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^2cosphi rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^2cosphi rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^2cosphi = (2cosphi)^44 = 16cos^4phi4 = 4cos^4phi :
integral0^2pi integral0^pi/2 4cos^4phi cdot sinphi , dphi , dtheta
Então, a integral agora fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^pi/2 4cos^4phi cdot sinphi , dphi = 4 integral1^0 u^4 (-du) = 4 integral0^1 u^4 du = 4 [ u^55 ]0^1 = 45 . Vamos usar a substituição , então :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi 45 , dtheta = 45 cdot 2pi = 8pi5 :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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