Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de sobre a região dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre a região onde . Vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com funções e regiões que têm simetria radial, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração: . Isso parece uma equação de uma esfera, certo? Vamos reescrever para ver melhor:
Completa o quadrado em relação a z:
Então, a região é uma esfera de raio 1, centrada no ponto (0, 0, 1).
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembre-se que em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é .
Passo 4
A função que estamos integrando é . Em coordenadas esféricas, isso simplifica para , porque .
Passo 5
Vamos identificar os limites de integração. Como a região é uma esfera de raio 1 centrada em (0, 0, 1), em coordenadas esféricas isso corresponde a:
varia de 0 a 2 \cos\phi \ (isso vem da equação da esfera na coordenada esférica)
varia de 0 a (porque a esfera está acima do plano xy)
varia de 0 a (varrendo todo o círculo ao redor do eixo z)
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas: