Verifique usando a definição que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando a definição de isomorfismo de espaços vetoriais, que
é isomorfo a
e que
é isomorfo a
. Vamos usar a definição: uma aplicação linear bijetora entre os espaços.
Passo 2
Definimos a aplicação
Para ver que
é linear, tomamos vetores
e
em
e escalares
. Então
Bijetividade: dado qualquer polinômio de grau
há uma única sequência
de coeficientes, e vice-versa, logo
é injetora e sobrejetora.
Passo 3
Concluímos assim que
é um isomorfismo entre
e
, ou seja
Passo 4
Definimos a aplicação
A soma e o escalar agem entrada a entrada, logo
é linear. Além disso, cada tupla de
corresponde a uma matriz única em
, e vice-versa, garantindo bijetividade.
Passo 5
Portanto
é um isomorfismo e
Resposta
Um isomorfismo
é
e um isomorfismo
é