Verifique usando a definição que R^n+1 cong Pn(R) e que M(m, n) cong R^m n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a definição de isomorfismo de espaços vetoriais, que R^n+1 é isomorfo a Pn(R) e que M(m,n) é isomorfo a R^mn. Vamos usar a definição: uma aplicação linear bijetora entre os espaços.

Passo 2

Definimos a aplicação
phicolon R^n+1to Pn(R), phil((a0,a1,dots,an)r) = a0+a1x+cdots+anx^n
Para ver que phi é linear, tomamos vetores (ak) e (bk) em R^n+1 e escalares alpha,beta. Então
phil(alpha(ak)+beta(bk)r) =sumk=0^n(alpha ak+beta bk)x^k =alphasumk=0^nakx^k+betasumk=0^nbkx^k =alphaphi(ak)+betaphi(bk)
Bijetividade: dado qualquer polinômio de grau <= n há uma única sequência (a0,dots,an) de coeficientes, e vice-versa, logo phi é injetora e sobrejetora.

Passo 3

Concluímos assim que phi é um isomorfismo entre R^n+1 e Pn(R), ou seja
R^n+1congPn(R)

Passo 4

Definimos a aplicação
psicolon M(m,n)to R^mn, psil([aij]i=1,dots,m^j=1,dots,nr) =(a11,a12,dots,a1n,,a21,dots,amn)
A soma e o escalar agem entrada a entrada, logo psi é linear. Além disso, cada tupla de R^mn corresponde a uma matriz única em M(m,n), e vice-versa, garantindo bijetividade.

Passo 5

Portanto psi é um isomorfismo e
M(m,n)congR^mn

Resposta

Um isomorfismo R^n+1toPn(R) é
(a0,dots,an)mapsto a0+a1x+cdots+anx^n,
e um isomorfismo M(m,n)toR^mn é
[aij]mapsto (a11,a12,dots,amn)

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