Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
vi) T: M(2,3) P4(R) dada por T([llla & b & c d & e & f])=(a-f) x^4-2 d x^2+(c+e) x+b,

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
por
Queremos verificar se é isomorfismo (isto é, bijetora) e, em caso afirmativo, encontrar .
O conteúdo usado será dimensão de espaços vetoriais e propriedades de transformações lineares (injeção e sobrejeção).

Passo 2

Calculemos a dimensão do espaço domínio e do espaço de chegada:
– O espaço M(2,3) de matrizes 2times 3 tem dim M(2,3) = 2 cdot 3 = 6.
– O espaço P4(R) de polinômios de grau <= 4 tem dim P4(R) = 5 (base 1,x,x^2,x^3,x^4).

Passo 3

Para ser isomorfismo, T precisaria ser injetora e sobrejetora, e em particular ter posto igual a dimP4(R)=5. Pelo Teorema da Dimensão,
dim M(2,3)=dimker T + dimImT,
isto é,
6 = dimker T + dimImT

Passo 4

Verifiquemos a forma geral dos polinômios na imagem de T:
T(A) = alpha x^4 + beta x^2 + gamma x + de<a
com
alpha = a-f,
beta = -2d,
gamma = c+e,
de<a = b,
e sempre coeficiente de x^3 nulo. Há quatro parâmetros livres alpha,beta,gamma,de<a, logo
dimImT = 4 < 5
Isso mostra que T não é sobrejetora (nem injetora, pois dimker T=6-4=2>0).

Resposta

A transformação T não é isomorfismo (não é bijetora), portanto não existe T^-1.

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