Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
vii) T: R^3 P2(R) dada por T(a, b, c)=c x^2-b x-a.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T:R^3toP2(R), T(a,b,c)=c,x^2-b,x - a
Queremos verificar se T é isomorfismo. Como dimR^3=3 e dimP2(R)=3, basta mostrar que T é injetora (ou sobrejetora) para concluir que é bijetora e, portanto, isomorfismo.

Passo 2

Para testar injetividade, calculamos o núcleo de T:
T(a,b,c)=0Long<=ftrightarrow c,x^2-b,x - a equiv 0
Isso implica que os coeficientes são todos zero:
c=0, -b=0implies b=0, -a=0implies a=0
Logo ker T=(0,0,0), o que mostra que T é injetora.

Passo 3

Sendo injetora e com domínio e contradomínio de mesma dimensão finita, T é bijetora e, portanto, um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 4

Para achar T^-1, seja um polinômio genérico
p(x)=alpha,x^2+beta,x+gammainP2(R)
Queremos (a,b,c) tal que
T(a,b,c)=c,x^2-b,x - a = alpha,x^2+beta,x+gamma
Comparando coeficientes:
c=alpha, -,b=betaimplies b=-beta, -,a=gammaimplies a=-gamma
Portanto
T^-1l(alpha,x^2+beta,x+gammar)=(-gamma,,-beta,,alpha)

Resposta

A transformação T é isomorfismo e
T^-1:P2(R)toR^3, T^-1l(alpha,x^2+beta,x+gammar)=(-gamma,,-beta,,alpha)

Exercícios relacionados