Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
vii)
dada por
.
vii)
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
Queremos verificar se
é isomorfismo. Como
e
, basta mostrar que
é injetora (ou sobrejetora) para concluir que é bijetora e, portanto, isomorfismo.
Passo 2
Para testar injetividade, calculamos o núcleo de
:
Isso implica que os coeficientes são todos zero:
Logo
, o que mostra que
é injetora.
Passo 3
Sendo injetora e com domínio e contradomínio de mesma dimensão finita,
é bijetora e, portanto, um isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 4
Para achar
, seja um polinômio genérico
Queremos
tal que
Comparando coeficientes:
Portanto
Resposta
A transformação
é isomorfismo e