Verifique, usando a definição, que (tarefa!)
lim x 0^+ 1x^r=+infty, r in Q, r>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite que tende a +infty, que
limxto0^+1x^r=+infty
para todo rinQ com r>0.
Conteúdo: definição de limite infinita em um ponto, manipulações de potências com expoente racional.

Passo 2

A definição de
limxto0^+f(x)=+infty
diz que, dados M>0, deve existir de<a>0 tal que, sempre que
0 < x < de<a,
tenhamos
f(x) > M

Passo 3

Tomemos um M>0 arbitrário. Queremos garantir
1x^r > M
Isso é equivalente a
x^r < 1M

Passo 4

Como r>0 é racional, a função tmapsto t^r é estritamente crescente em (0,infty) e a raiz 1/r existe em R^+. Logo, da desigualdade x^r<1/M tiramos a r-ésima raiz:
0 < x < l(tfrac1Mr)^1/r
Definimos então
de<a = l(tfrac1Mr)^1/r,
que é um número positivo.

Passo 5

Se 0<x<de<a, então
x^r < de<a^r = 1M Longrightarrow 1x^r > M
Isso satisfaz exatamente a definição de limxto0^+1/x^r=+infty.

Resposta

limxto0^+1x^r=+infty.

Exercícios relacionados