Verifique, usando a definição, que (tarefa!)
lim x -infty e^x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando xto -infty, que
limxto -inftye^x = 0
O conteúdo aqui é a definição de limite de uma função em -infty: para qualquer varepsilon>0 precisamos encontrar um número M tal que, sempre que x<M, tenhamos l|e^x-0r|<varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que
limxto -inftyf(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe MinR tal que
x<MLongrightarrow |f(x)-L|<varepsilon
No nosso caso f(x)=e^x e L=0. Como e^x>0 para todo x, temos
|e^x-0| = e^x
Queremos então
e^x < varepsilon

Passo 3

Para resolver a inequação e^x<varepsilon (com varepsilon>0), aplicamos o logaritmo natural, que é estritamente crescente:
e^x < varepsilon Long<=ftrightarrow x < ln(varepsilon)

Passo 4

Dado um varepsilon>0, basta tomar
M = ln(varepsilon)
Então, sempre que x<M, ou seja x<ln(varepsilon), temos
|e^x-0| = e^x < e^ln(varepsilon) = varepsilon
Isso mostra exatamente, pela definição, que
limxto -inftye^x = 0

Resposta

limxto -inftye^x = 0.

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