Verifique, usando propriedades dos determinantes, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se as colunas da matriz
são vetores LD, então
.
Se as colunas da matriz
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Se as colunas da matriz
são vetores linearmente dependentes, então
.
Informações dadas (explicitadas):
- Existe uma matriz
para a qual é considerado, portanto assumimos que é uma matriz quadrada de ordem . - As colunas de
(vou denotar por ) são linearmente dependentes, isto é, há uma combinação linear não trivial entre elas que resulta no vetor zero.
O que se pede: decidir (e justificar matematicamente) se a consequência
é verdadeira sempre que as colunas são linearmente dependentes.
Passo 2
Definição precisa de dependência linear (mastigando):
- As colunas de
são vetores (ou em algum espaço vetorial sobre um corpo). - Dizemos que são linearmente dependentes se existem escalares
, não todos nulos, tais que
Isto significa que pelo menos uma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 3
Propriedades dos determinantes que vou usar (explicadas devagarinho):
-
Multilinearidade nas colunas:
- O determinante é linear em cada coluna, mantendo as demais fixas. Ou seja, se numa coluna substituímos por uma combinação linear
, temos
Aqui os pontosrepresentam as outras colunas que permanecem iguais. - Consequência prática: podemos “distribuir” o determinante sobre combinações lineares em uma coluna.
- O determinante é linear em cada coluna, mantendo as demais fixas. Ou seja, se numa coluna substituímos por uma combinação linear
-
Fatoração de escalar em uma coluna:
- Se uma coluna é multiplicada por um escalar
, então o determinante é multiplicado por :
- Se uma coluna é multiplicada por um escalar
-
Alternância (ou propriedade de trocar colunas):
- Trocar duas colunas de lugar muda o sinal do determinante:
- Uma consequência imediata: se duas colunas são iguais, então o determinante vale zero, porque trocar essas duas colunas não altera a matriz (sai a mesma matriz) mas pela regra de troca o determinante deveria mudar de sinal; logo
, portanto .
Essas propriedades são fundamentais e frequentemente usadas em provas envolvendo determinantes.
Passo 4
Usando a dependência linear para encontrar uma relação conveniente:
- Como as colunas são LD, existem
, nem todos nulos, com
- Escolha um índice
tal que (existe pelo menos um). Reescrevendo, isolamos :
Ou de forma compacta,
Passo 5
Aplicar multilinearidade do determinante substituindo a coluna
:
- Escrevemos o determinante de
como
- Substituindo
pela sua expressão em combinação linear e usando a multilinearidade, obtemos uma soma:
onde em cada termo da soma a coluna
foi substituída por
.
Passo 6
Cada termo da soma é zero porque cria colunas repetidas:
- Observe que, no termo correspondente a um índice fixo
, a coluna aparece duas vezes: uma na sua posição original e outra agora na posição (pois substituímos por ). - Pelo argumento da alternância (Passo 3), qualquer determinante com duas colunas iguais vale zero. Portanto cada termo
nessa soma é zero. - Assim a soma inteira é zero, logo
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a intuição (pequeno e direto):
- Tome
e colunas , . Note que , então são linearmente dependentes. - O determinante da matriz cujas colunas são
é
- Isso ilustra a regra: dependência linear entre colunas leva a determinante zero.]
Resposta
Verdadeiro.