Verifique, usando propriedades dos determinantes, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se as colunas da matriz A são vetores LD, então \operatorname{det}(A)=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Se as colunas da matriz A são vetores linearmente dependentes, então \det(A)=0.
Informações dadas (explicitadas):
  • Existe uma matriz A para a qual \det(A) é considerado, portanto assumimos que A é uma matriz quadrada de ordem n.
  • As colunas de A (vou denotar por v_1,v_2,\dots,v_n) são linearmente dependentes, isto é, há uma combinação linear não trivial entre elas que resulta no vetor zero.
O que se pede: decidir (e justificar matematicamente) se a consequência \det(A)=0 é verdadeira sempre que as colunas são linearmente dependentes.

Passo 2

Definição precisa de dependência linear (mastigando):
  • As colunas de A são vetores \,v_1,v_2,\dots,v_n\in\mathbb{R}^n (ou em algum espaço vetorial sobre um corpo).
  • Dizemos que são linearmente dependentes se existem escalares c_1,c_2,\dots,c_n, não todos nulos, tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0.
Isto significa que pelo menos uma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 3

Propriedades dos determinantes que vou usar (explicadas devagarinho):
  1. Multilinearidade nas colunas:
    • O determinante é linear em cada coluna, mantendo as demais fixas. Ou seja, se numa coluna substituímos por uma combinação linear a u + b w, temos
    \det(\dots,a u + b w,\dots) = a\det(\dots,u,\dots) + b\det(\dots,w,\dots).
    Aqui os pontos \dots representam as outras colunas que permanecem iguais.
    • Consequência prática: podemos “distribuir” o determinante sobre combinações lineares em uma coluna.
  2. Fatoração de escalar em uma coluna:
    • Se uma coluna é multiplicada por um escalar \lambda, então o determinante é multiplicado por \lambda:
    \det(\dots,\lambda v_j,\dots) = \lambda\,\det(\dots,v_j,\dots).
  3. Alternância (ou propriedade de trocar colunas):
    • Trocar duas colunas de lugar muda o sinal do determinante:
    \det(\dots,v_i,\dots,v_j,\dots) = -\det(\dots,v_j,\dots,v_i,\dots).
    • Uma consequência imediata: se duas colunas são iguais, então o determinante vale zero, porque trocar essas duas colunas não altera a matriz (sai a mesma matriz) mas pela regra de troca o determinante deveria mudar de sinal; logo \det = -\det, portanto \det=0.
Essas propriedades são fundamentais e frequentemente usadas em provas envolvendo determinantes.

Passo 4

Usando a dependência linear para encontrar uma relação conveniente:
  • Como as colunas são LD, existem c_1,\dots,c_n, nem todos nulos, com
c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n = 0.
  • Escolha um índice k tal que c_k\neq 0 (existe pelo menos um). Reescrevendo, isolamos v_k:
v_k = -\frac{c_1}{c_k}v_1 - \cdots -\frac{c_{k-1}}{c_k}v_{k-1} - \frac{c_{k+1}}{c_k}v_{k+1} - \cdots -\frac{c_n}{c_k}v_n.
Ou de forma compacta,
v_k = \sum_{j\neq k} \alpha_j v_j\quad\text{com}\quad \alpha_j = -\frac{c_j}{c_k}.

Passo 5

Aplicar multilinearidade do determinante substituindo a coluna k:
  • Escrevemos o determinante de A como
\det(A)=\det(v_1,\dots,v_k,\dots,v_n).
  • Substituindo v_k pela sua expressão em combinação linear e usando a multilinearidade, obtemos uma soma:
\det(v_1,\dots,v_k,\dots,v_n) = \det\Big(v_1,\dots,\sum_{j\ne k}\alpha_j v_j,\dots,v_n\Big) = \sum_{j\ne k}\alpha_j \det(v_1,\dots,v_j,\dots,v_n),
onde em cada termo da soma a coluna k foi substituída por v_j.

Passo 6

Cada termo da soma é zero porque cria colunas repetidas:
  • Observe que, no termo correspondente a um índice fixo j\ne k, a coluna j aparece duas vezes: uma na sua posição original e outra agora na posição k (pois substituímos v_k por v_j).
  • Pelo argumento da alternância (Passo 3), qualquer determinante com duas colunas iguais vale zero. Portanto cada termo \det(v_1,\dots,v_j,\dots,v_n) nessa soma é zero.
  • Assim a soma inteira é zero, logo
\det(A)=0.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a intuição (pequeno e direto):
  • Tome n=2 e colunas v_1=(1,2), v_2=(2,4). Note que v_2=2v_1, então são linearmente dependentes.
  • O determinante da matriz cujas colunas são v_1,v_2 é
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 4-4=0.
  • Isso ilustra a regra: dependência linear entre colunas leva a determinante zero.]

Resposta

Verdadeiro.

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