Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
\left(\exists x \in \mathbb{R}, x^{2}=x\right)

Passo 1

O enunciado é a proposição
\left(\exists x \in \mathbb{R},\; x^{2}=x\right).
Isso nos dá:
  • Domínio: x é um número real ( x\in\mathbb{R}).
  • Propriedade a verificar: x^{2}=x.
A pergunta é: essa proposição é verdadeira ou falsa? Em outras palavras: existe algum número real x que satisfaça x^{2}=x?

Passo 2

O que significa \exists x\in\mathbb{R},\; P(x)?
Significa que basta encontrar pelo menos um valor x\in\mathbb{R} que torne P(x) verdadeira. Para provar a existência, basta apresentar um ou mais “testemunhos” (ou exemplos). Para refutar, seria necessário mostrar que nenhum real pode satisfazer a propriedade.

Passo 3

Vamos resolver a equação que aparece na propriedade:
x^{2}=x.
Trazer tudo para um lado para ter uma equação polinomial com zero no outro:
x^{2}-x=0.

Passo 4

Fatoramos o polinômio à esquerda. Explicar a fatoração: procurar um fator comum x:
x^{2}-x = x(x-1).
Aqui se usou a propriedade distributiva: x\cdot x = x^{2} e x\cdot(-1)=-x.

Passo 5

Aplicamos a propriedade do produto nulo (zero): em \mathbb{R}, se um produto de dois fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, de
x(x-1)=0
segue que
x=0 \quad\text{ou}\quad x-1=0.
Portanto as soluções são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 6

Verificação rápida (substituir de volta para ficar seguro):
0^{2}=0\quad\text{(verdadeiro)},\qquad 1^{2}=1\quad\text{(verdadeiro)}.
Como existem valores reais que satisfazem a equação (por exemplo x=0 e x=1), a proposição existencial é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro — por exemplo x=0 (também x=1).

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