Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
O enunciado é a proposição
Isso nos dá:
- Domínio:
é um número real ( ). - Propriedade a verificar:
.
A pergunta é: essa proposição é verdadeira ou falsa? Em outras palavras: existe algum número real
que satisfaça
?
Passo 2
O que significa
?
Significa que basta encontrar pelo menos um valor que torne
verdadeira. Para provar a existência, basta apresentar um ou mais “testemunhos” (ou exemplos). Para refutar, seria necessário mostrar que nenhum real pode satisfazer a propriedade.
Significa que basta encontrar pelo menos um valor
Passo 3
Vamos resolver a equação que aparece na propriedade:
Trazer tudo para um lado para ter uma equação polinomial com zero no outro:
Passo 4
Fatoramos o polinômio à esquerda. Explicar a fatoração: procurar um fator comum
:
Aqui se usou a propriedade distributiva:
e
.
Passo 5
Aplicamos a propriedade do produto nulo (zero): em
, se um produto de dois fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, de
segue que
Portanto as soluções são
Passo 6
Verificação rápida (substituir de volta para ficar seguro):
Como existem valores reais que satisfazem a equação (por exemplo
e
), a proposição existencial é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro — por exemplo
(também
).