Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da proposição
Ou seja: determinar se existe algum número real
tal que o valor absoluto de
seja
. As informações dadas são apenas o domínio
e a equação
.
Passo 2
Vou lembrar a definição básica de valor absoluto e algumas propriedades que vou usar, explicando devagar como se eu estivesse ao seu lado na prova.
Definição (valor absoluto): para
Interpretação intuitiva:
até
na reta real, então sempre é um número não negativo.]
Passo 3
Provar que
para todo
(isso é útil para entender quando
).
- Se
, então pela definição e como segue que . - Se
, então . Como , , logo .
Portanto, para todo
vale
, e
é um caso limite que merece atenção: quando a distância até zero é zero, isso sugere que o ponto é exatamente zero.
Passo 4
Resolver a equação
por casos (aplicando a definição).
-
Caso
: então . A equação fica . Isso dá a possibilidade , que é compatível com . -
Caso
: então . A equação fica , o que implica . Mas isso contradiz a hipótese (pois não é menor que zero). Logo, não há solução válida com .
Concluindo pelos dois casos: a única solução possível é
.
Passo 5
Exibir explicitamente um exemplo (testemunha) que prova a existência: tomar
. Pela definição,
. Assim existe um
(especificamente
) que satisfaz
.
Passo 6
Resumo da justificativa: a equação
tem solução única
; como existe esse
no conjunto
, a proposição existencial é verdadeira.
Resposta
Verdadeira (por exemplo
).