Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
(\exists x \in \mathbb{R},|x|=0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da proposição
(\exists x \in \mathbb{R},\; |x|=0).
Ou seja: determinar se existe algum número real x tal que o valor absoluto de x seja 0. As informações dadas são apenas o domínio \mathbb{R} e a equação |x|=0.

Passo 2

Vou lembrar a definição básica de valor absoluto e algumas propriedades que vou usar, explicando devagar como se eu estivesse ao seu lado na prova.
Definição (valor absoluto): para x\in\mathbb{R}\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Interpretação intuitiva: |x|\] é a distância de \(x até 0 na reta real, então sempre é um número não negativo.]

Passo 3

Provar que |x|\ge 0 para todo x\in\mathbb{R} (isso é útil para entender quando |x|=0).
  • Se x\ge 0, então pela definição |x|=x e como x\ge0 segue que |x|\ge0.
  • Se x<0, então |x|=-x. Como x<0, -x>0, logo |x|>0.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R} vale |x|\ge0, e |x|=0 é um caso limite que merece atenção: quando a distância até zero é zero, isso sugere que o ponto é exatamente zero.

Passo 4

Resolver a equação |x|=0 por casos (aplicando a definição).
  • Caso x\ge 0: então |x|=x. A equação |x|=0 fica x=0. Isso dá a possibilidade x=0, que é compatível com x\ge0.
  • Caso x<0: então |x|=-x. A equação |x|=0 fica -x=0, o que implica x=0. Mas isso contradiz a hipótese x<0 (pois x=0 não é menor que zero). Logo, não há solução válida com x<0.
Concluindo pelos dois casos: a única solução possível é x=0.

Passo 5

Exibir explicitamente um exemplo (testemunha) que prova a existência: tomar x=0. Pela definição, |0|=0. Assim existe um x\in\mathbb{R} (especificamente 0) que satisfaz |x|=0.

Passo 6

Resumo da justificativa: a equação |x|=0 tem solução única x=0; como existe esse x no conjunto \mathbb{R}, a proposição existencial é verdadeira.

Resposta

Verdadeira (por exemplo x=0).

Exercícios relacionados