Calcule \lim _{\mathrm{x} \rightarrow 3^{+}} \frac{x^{2}+x-2}{-x^{3}+4 x^{2}-x-6}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to3^{+}}\frac{x^{2}+x-2}{-x^{3}+4x^{2}-x-6}.
O conteúdo é limite lateral de função racional num ponto em que o denominador anula. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador e depois analisar o sinal de cada fator para x pouco maior que 3.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}+x-2. Procuramos dois números cuja soma seja 1 (coeficiente de x) e cujo produto seja -2. Esses números são 2 e -1. Logo,
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).

Passo 3

Agora fatoramos o denominador -x^{3}+4x^{2}-x-6. Primeiro colocamos um sinal menos em evidência:
-x^{3}+4x^{2}-x-6 = -\bigl(x^{3}-4x^{2}+x+6\bigr).
Dentro do parêntese o polinômio x^{3}-4x^{2}+x+6 tem raiz x=3, pois 3^{3}-4\cdot3^{2}+3+6=0. Fazendo a divisão sintética ou fatoração por agrupamento, obtém-se
x^{3}-4x^{2}+x+6 = (x-3)(x^{2}-x-2).
E como x^{2}-x-2=(x-2)(x+1), temos
-\,x^{3}+4x^{2}-x-6 = -(x-3)(x-2)(x+1).

Passo 4

Analisemos agora o sinal de cada fator quando x\to3^{+}:
  • Numerador: (x+2)(x-1) tende a (3+2)\,(3-1)=5\cdot2=10>0.
  • Denominador: -(x-3)(x-2)(x+1). Para x>3, cada um dos fatores (x-3), (x-2) e (x+1) é positivo, mas há o sinal “−” em frente. Logo o denominador tende a 0 por valores negativos: 0^{-}.

Passo 5

Como o numerador tende a 10>0 e o denominador tende a 0^{-}, o quociente cresce em módulo sem limite e faz o sinal negativo. Portanto,
\lim_{x\to3^{+}}\frac{x^{2}+x-2}{-x^{3}+4x^{2}-x-6} = -\infty.

Resposta

-\infty

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