Mostre que a equação 5 x^{4}+9 x^{2}-6 x-1 tem pelo menos uma raiz no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f definido por
f(x)=5x^{4}+9x^{2}-6x-1
e pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz no intervalo (0,1).
Informações relevantes que temos:
  • A função f é um polinômio explícito (coeficientes reais).
  • O intervalo de interesse é (0,1).
  • O objetivo: provar que existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Explicar o conceito que vamos usar: continuidade e o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano).
  • Continuidade de polinômios: uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando x tende ao ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Polinômios são construídos por somas e produtos de funções elementares x\mapsto x^n e constantes. Cada monômio x\mapsto x^n é contínuo e operações de soma e produto preservam continuidade. Portanto todo polinômio é contínuo em toda a reta real. Em particular, f é contínua em [0,1].
  • Teorema do Valor Intermediário (enunciado claro): se uma função g é contínua no intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Em palavras: uma função contínua que muda de sinal entre a e b deve atingir o valor zero em algum ponto entre eles.
Agora que sabemos que f é contínua no intervalo e temos o teorema disponível, basta mostrar que f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 3

Calcular f(0) passo a passo.
Começando por substituir x=0 em f(x)=5x^{4}+9x^{2}-6x-1:
f(0)=5\cdot 0^{4}+9\cdot 0^{2}-6\cdot 0-1.
Como 0^{n}=0 para n\ge1, os três primeiros termos são zero, então
f(0)=-1.
Logo f(0)<0.

Passo 4

Calcular f(1) passo a passo.
Substituindo x=1:
f(1)=5\cdot 1^{4}+9\cdot 1^{2}-6\cdot 1-1.
Como 1^{n}=1 para qualquer n, obtemos
f(1)=5+9-6-1.
Agora somando/subtraindo na ordem:
5+9=14,\qquad 14-6=8,\qquad 8-1=7,
portanto
f(1)=7.
Logo f(1)>0.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Temos mostrado que:
  • f é contínua em [0,1];
  • f(0)=-1<0 e f(1)=7>0, ou seja, f(0)\cdot f(1)<0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso é exatamente dizer que a equação 5x^{4}+9x^{2}-6x-1=0 tem pelo menos uma raiz no intervalo (0,1).

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que 5c^{4}+9c^{2}-6c-1=0.

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