Mostre que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
definido por
e pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Informações relevantes que temos:
- A função
é um polinômio explícito (coeficientes reais). - O intervalo de interesse é
. - O objetivo: provar que existe
tal que .
Passo 2
Explicar o conceito que vamos usar: continuidade e o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano).
-
Continuidade de polinômios: uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
tende ao ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Polinômios são construídos por somas e produtos de funções elementares e constantes. Cada monômio é contínuo e operações de soma e produto preservam continuidade. Portanto todo polinômio é contínuo em toda a reta real. Em particular, é contínua em . -
Teorema do Valor Intermediário (enunciado claro): se uma função
é contínua no intervalo fechado e e têm sinais opostos (isto é, ), então existe pelo menos um ponto tal que . Em palavras: uma função contínua que muda de sinal entre e deve atingir o valor zero em algum ponto entre eles.
Agora que sabemos que
é contínua no intervalo e temos o teorema disponível, basta mostrar que
e
têm sinais opostos.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Começando por substituir
em
:
Como
para
, os três primeiros termos são zero, então
Logo
.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Substituindo
:
Como
para qualquer
, obtemos
Agora somando/subtraindo na ordem:
portanto
Logo
.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Temos mostrado que:
-
é contínua em ; -
e , ou seja, .
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
tal que
Isso é exatamente dizer que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Resposta
Existe
tal que
.