Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.
(f) (A, B) \sim(C, D) \Rightarrow\|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{C D}\|

Passo 1

O enunciado trata da relação de equipolência entre pares ordenados de pontos: dizemos que (A,B)\sim(C,D) se e somente se \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
O conteúdo da matéria aqui é geometria vetorial, em especial a definição de equipolência ou igualdade de vetores deslocamento.

Passo 2

Vamos usar a propriedade fundamental da norma (comprimento) de um vetor: para qualquer vetor \mathbf{v},
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle},
e em particular, se dois vetores são iguais, suas normas também são iguais. Portanto, de \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
segue imediatamente
\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{CD}\|.

Passo 3

Concluímos que a afirmação é verdadeira, pois a equipolência implica igualdade vetorial e, por consequência, igualdade de comprimentos.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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