Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.
(c) A B\|C D \Leftrightarrow \overline{A B}\| \overline{C D}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
AB\parallel CD\;\Leftrightarrow\;\overline{AB}\parallel\overline{CD}
é verdadeira ou falsa. Estamos em geometria plana, e vamos usar a definição de paralelismo de retas e de segmentos de reta para resolver.

Passo 2

Por convenção, AB denota a reta que passa por A e B, e \overline{AB} denota o segmento da reta AB que vai de A a B. A definição de paralelismo de segmentos é:
“Dois segmentos são paralelos se, e somente se, as retas que os contêm são paralelas.”

Passo 3

Prova da implicação direta. Suponha AB\parallel CD. Então as retas AB e CD são paralelas. Como \overline{AB} e \overline{CD} estão contidos nessas mesmas retas, pela definição de paralelismo de segmentos segue que \overline{AB}\parallel\overline{CD}.

Passo 4

Prova da implicação recíproca. Suponha \overline{AB}\parallel\overline{CD}. Pela definição de paralelismo de segmentos, as retas que contêm \overline{AB} e \overline{CD}, isto é, AB e CD, são paralelas. Logo
AB\parallel CD.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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