Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se e são duas matrizes tais que , então ou .
Passo 1
O enunciado pergunta se, em geral, para duas matrizes e com o produto , necessariamente teríamos ou . O conteúdo é a existência (ou não) de divisores de zero no anel das matrizes.
Passo 2
Em um anel, a propriedade de que implica ou caracteriza um domínio de integridade. O conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem maior que 1 sobre um corpo não é um domínio de integridade, pois existem divisores de zero.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo com matrizes não nulas cujo produto seja a matriz zero. Tome, por exemplo, duas matrizes :