Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se A e B são duas matrizes tais que A B=0, então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em geral, para duas matrizes A e B com o produto AB=0, necessariamente teríamos A=0 ou B=0. O conteúdo é a existência (ou não) de divisores de zero no anel das matrizes.

Passo 2

Em um anel, a propriedade de que xy=0 implica x=0 ou y=0 caracteriza um domínio de integridade. O conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem maior que 1 sobre um corpo não é um domínio de integridade, pois existem divisores de zero.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo com matrizes não nulas cujo produto seja a matriz zero. Tome, por exemplo, duas matrizes 2times2:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0
Claramente Aneq0 e Bneq0.

Passo 4

Calculemos o produto AB:
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0 =0
Logo, AB=0 mesmo com Aneq0 e Bneq0.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo acima mostra duas matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.

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