Verifique se Verdadeiro (V) ou Falso (F), justifique sua resposta de maneira rigorosa, usando apenas definições.
(V/F) Todo vetor possui infinitos representantes.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que “todo vetor possui infinitos representantes”. Aqui estamos em Álgebra Linear Elementar, usando a definição de vetor como uma classe de equivalência de segmentos orientados no espaço. Para resolver, vamos recorrer rigorosamente às definições de segmento orientado, relação de equivalência e representante de vetor.

Passo 2

Definição de vetor e de representante. Seja dado um segmento orientado AB. Dizemos que outro segmento orientado CD é equivalente a AB se
|CD| = |AB|(mesma magnitude),
as retas (AB) e (CD) são para<=las e orientadas no mesmo sentido ã
A relação “é equivalente a” é de fato uma relação de equivalência em todo o conjunto de segmentos orientados. O vetor v definido por AB é a classe de equivalência
v = [AB] = XY mid XY é equiva<=nte a AB é
Cada elemento dessa classe de equivalência é chamado de representante de v.

Passo 3

Construção de infinitos representantes. Escolha um ponto arbitrário P no espaço. Pela definição, existe um único ponto Q tal que PQ seja equivalente a AB: basta traçar em P um segmento de mesma magnitude de AB, na direção e sentido de AB. Logo, para cada escolha distinta de P obtemos um representante PQ distinto de v. Como há infinitos pontos P no espaço, concluímos que há infinitos representantes de v.

Resposta

Verdadeiro.

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