Verifique se Verdadeiro (V) ou Falso (F), justifique sua resposta de maneira rigorosa, usando apenas definições.
(V/F) Se u e v são vetores colineares, então existe um número real k tal que u=k v.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “se u e v são colineares, então existe kinR tal que u=k,v” é verdadeira. Vamos usar as definições de colinearidade e de dependência linear de vetores.

Passo 2

Definição de colinearidade: dizemos que dois vetores u e v são colineares se ambos estão na mesma reta que passa pela origem. Em outras palavras, existe um vetor não nulo w e escalares lambda,muinR tais que
u = lambda,w e v = mu,w

Passo 3

A partir de
u = lambda,w, v = mu,w,
podemos distinguir dois casos:
Se muneq0, então w = mu^-1,v e
u = lambda,w = lambda,(mu^-1,v) = l(tfraclambdamur),v
Basta então tomar k=tfraclambdamu.

Passo 4

Se mu=0, então v=0. Nesse caso a colinearidade só ocorre se também u=0, e de fato 0=k,0 vale para qualquer kinR. Assim, em todo caso existe k tal que
u=k,v

Resposta

V

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