Verifique se Verdadeiro (V) ou Falso (F), justifique sua resposta de maneira rigorosa, usando apenas definições.
(V/F) Se
e
são vetores colineares, então existe um número real
tal que
.
(V/F) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “se
e
são colineares, então existe
tal que
” é verdadeira. Vamos usar as definições de colinearidade e de dependência linear de vetores.
Passo 2
Definição de colinearidade: dizemos que dois vetores
e
são colineares se ambos estão na mesma reta que passa pela origem. Em outras palavras, existe um vetor não nulo
e escalares
tais que
Passo 3
A partir de
podemos distinguir dois casos:
Se , então
e
Se
Basta então tomar
.
Passo 4
Se
, então
. Nesse caso a colinearidade só ocorre se também
, e de fato
vale para qualquer
. Assim, em todo caso existe
tal que
Resposta
V