Verifique se \Re^{3} é espaço vetorial (3 propriedades alternando soma e produto por escalar) e. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbb{R}^3, com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação de cada componente por escalar), é um espaço vetorial. Para isso escolhemos três propriedades que alternam soma e produto por escalar:
  1. Fechamento sob soma vetorial
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar
  3. Distributividade do escalar sobre a soma vetorial

Passo 2

Fechamento sob soma vetorial
Sejam
u = (x_1,y_1,z_1),\quad v = (x_2,y_2,z_2)\in \mathbb{R}^3.
Definimos a soma como
u+v = (\,x_1 + x_2,\;y_1 + y_2,\;z_1 + z_2\,).
Como \mathbb{R} é fechado sob adição, temos x_1+x_2\in\mathbb{R}, y_1+y_2\in\mathbb{R} e z_1+z_2\in\mathbb{R}. Logo
u+v\in\mathbb{R}^3,
ou seja, \mathbb{R}^3 é fechado sob soma.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
u = (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Definimos
\lambda\,u = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z).
Como \mathbb{R} é fechado sob produto, cada componente \lambda x,\lambda y,\lambda z está em \mathbb{R}. Assim
\lambda\,u\in\mathbb{R}^3,
ou seja, \mathbb{R}^3 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Distributividade do escalar sobre a soma vetorial
Tomemos \lambda\in\mathbb{R} e u,v\in\mathbb{R}^3 como antes. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
\lambda\,(u+v) = \bigl(\lambda(x_1+x_2),\;\lambda(y_1+y_2),\;\lambda(z_1+z_2)\bigr).
Pelo fato de \mathbb{R} satisfazer \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b, cada componente se distribui:
\lambda(x_1+x_2)=\lambda x_1+\lambda x_2,
etc. Logo
\lambda\,(u+v) =(\lambda x_1+\lambda x_2,\;\lambda y_1+\lambda y_2,\;\lambda z_1+\lambda z_2) =(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)+(\lambda x_2,\lambda y_2,\lambda z_2) =\lambda u+\lambda v.

Resposta

Sim. \mathbb{R}^3 com as operações usuais satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob multiplicação por escalar e a distributividade \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v, e portanto é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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