Verifique se
é espaço vetorial (3 propriedades alternando soma e produto por escalar) e. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
, com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação de cada componente por escalar), é um espaço vetorial. Para isso escolhemos três propriedades que alternam soma e produto por escalar:
- Fechamento sob soma vetorial
- Fechamento sob multiplicação por escalar
- Distributividade do escalar sobre a soma vetorial
Passo 2
Fechamento sob soma vetorial
Sejam
Sejam
Definimos a soma como
Como
é fechado sob adição, temos
,
e
. Logo
ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação por escalar
Seja e
Seja
Definimos
Como
é fechado sob produto, cada componente
está em
. Assim
ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Distributividade do escalar sobre a soma vetorial
Tomemos e
como antes. Então
Tomemos
e
Pelo fato de
satisfazer
, cada componente se distribui:
etc. Logo
Resposta
Sim.
com as operações usuais satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob multiplicação por escalar e a distributividade
, e portanto é um espaço vetorial sobre
.