Uma esfera sólida de massa M e raio R rola sem deslizar em uma superfície horizontal e sobe um plano inclinado até uma altura máxima h. Se a superfície do plano inclinado não tivesse atrito (apenas a horizontal tinha), a altura h seria maior, menor ou igual? Justifique matematicamente.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Uma esfera sólida de massa M e raio R.
  • A esfera rola sem deslizar numa superfície horizontal e atinge a base de um plano inclinado com velocidade de translação v e velocidade angular \omega compatível com rolamento sem deslizamento.
  • A esfera sobe o plano inclinado até uma altura máxima h.
  • Pergunta: se a superfície do plano inclinado não tivesse atrito (apenas a horizontal tinha), a altura h seria maior, menor ou igual? Pedem justificativa matemática.

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada coisa com calma).
  1. Rolamento sem deslizar: quando uma esfera roda sem deslizar, a velocidade linear do centro de massa v e a velocidade angular \omega estão relacionadas por
\omega=\dfrac{v}{R},
porque o ponto de contato é instantaneamente parado em relação à superfície.
  1. Energias cinéticas: a esfera tem energia cinética de translação e de rotação. As expressões são
\text{energia translacional } = \tfrac{1}{2}Mv^{2}, \qquad \text{energia rotacional } = \tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia da esfera em relação ao seu centro.
  1. Momento de inércia de uma esfera sólida: para uma esfera sólida e homogênea vale
I=\dfrac{2}{5}MR^{2}.
Aqui M é a massa e R o raio; isso é um resultado padrão que dá a resistência da esfera à variação de rotação.
  1. Conservação de energia: se as forças não dissipativas (como atrito estático que não realiza trabalho) atuam, a energia mecânica total (cinética translacional + cinética rotacional + potencial gravitacional) é conservada. Se houver superfície sem atrito, não há torque dessa superfície e a rotação pode permanecer constante; ainda assim a energia mecânica total se conserva (não há perda), mas a repartição entre formas de energia muda.
Com essas peças, vamos montar os dois cenários e calcular a altura máxima.

Passo 3

Caso A — o plano inclinado tem atrito suficiente para que a esfera continue rolando sem deslizar ao subir.
  • Na base do plano a esfera tem velocidade v e \omega=v/R. A energia mecânica inicial (na base) é apenas cinética (escolhemos potencial zero na base):
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}Mv^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  • Substituindo I e \omega:
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}Mv^{2}+\tfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{5}MR^{2}\right)\left(\dfrac{v}{R}\right)^{2}.
  • Simplificando:
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}Mv^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}M v^{2} =\tfrac{1}{2}Mv^{2}\left(1+\dfrac{2}{5}\right) =\tfrac{1}{2}Mv^{2}\cdot\dfrac{7}{5}.
  • Na altura máxima h_{\text{com atrito}} toda essa energia cinética (translacional + rotacional) vira energia potencial gravitacional Mg h, logo
Mg\,h_{\text{com atrito}}=\tfrac{1}{2}Mv^{2}\cdot\dfrac{7}{5}.
  • Cancelando M e isolando h_{\text{com atrito}}:
h_{\text{com atrito}}=\dfrac{\tfrac{1}{2}v^{2}\cdot\dfrac{7}{5}}{g} =\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{v^{2}}{g}.

Passo 4

Caso B — o plano inclinado é liso (sem atrito). A superfície horizontal ainda podia fornecer atrito para fazer a esfera rolar antes de subir, então ao atingir a base a esfera tem novamente v e \omega=v/R. Ao subir o plano sem atrito:
  • Não existe força de atrito tangencial sobre a esfera, portanto não há torque da superfície que altere \omega. Assim \omega permanece igual a v/R durante a subida; a energia rotacional permanece constante.
  • A única energia que se transforma em potencial é a energia translacional. Assim, na altura máxima h_{\text{sem atrito}} vale
Mg\,h_{\text{sem atrito}}=\tfrac{1}{2}Mv^{2},
porque a energia rotacional \tfrac{1}{2}I\omega^{2} permanece com a esfera e não contribui para subir.
  • Cancelando M e isolando h_{\text{sem atrito}}:
h_{\text{sem atrito}}=\dfrac{\tfrac{1}{2}v^{2}}{g}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v^{2}}{g}.

Passo 5

Comparação dos dois resultados:
  • Com atrito no plano: \displaystyle h_{\text{com atrito}}=\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{v^{2}}{g}.
  • Sem atrito no plano: \displaystyle h_{\text{sem atrito}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v^{2}}{g}=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{v^{2}}{g}.
Como \dfrac{7}{10}>\dfrac{5}{10}, segue que
h_{\text{com atrito}}>h_{\text{sem atrito}}.
Numericamente, h_{\text{com atrito}}/h_{\text{sem atrito}}=7/5=1{,}4, ou seja, com atrito o pico é 40% maior.
Intuição final (rápida e amigável): quando o plano tem atrito, esse atrito (estático) fornece o torque necessário para reduzir a rotação enquanto a esfera sobe, de modo que a energia rotacional também pode ser convertida em energia potencial. Se o plano for liso, não há torque que toque na rotação; a rotação “fica guardada” e não ajuda a subir — só a energia de translação sobe. Portanto a altura alcançada sem atrito é menor.

Resposta

Menor.

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