Uma esfera sólida de massa
e raio
rola sem deslizar em uma superfície horizontal e sobe um plano inclinado até uma altura máxima
. Se a superfície do plano inclinado não tivesse atrito (apenas a horizontal tinha), a altura
seria maior, menor ou igual? Justifique matematicamente.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
- Uma esfera sólida de massa
e raio . - A esfera rola sem deslizar numa superfície horizontal e atinge a base de um plano inclinado com velocidade de translação
e velocidade angular compatível com rolamento sem deslizamento. - A esfera sobe o plano inclinado até uma altura máxima
. - Pergunta: se a superfície do plano inclinado não tivesse atrito (apenas a horizontal tinha), a altura
seria maior, menor ou igual? Pedem justificativa matemática.
Passo 2
Vamos reunir as fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada coisa com calma).
- Rolamento sem deslizar: quando uma esfera roda sem deslizar, a velocidade linear do centro de massa
e a velocidade angular estão relacionadas por
porque o ponto de contato é instantaneamente parado em relação à superfície.
- Energias cinéticas: a esfera tem energia cinética de translação e de rotação. As expressões são
onde
é o momento de inércia da esfera em relação ao seu centro.
- Momento de inércia de uma esfera sólida: para uma esfera sólida e homogênea vale
Aqui
é a massa e
o raio; isso é um resultado padrão que dá a resistência da esfera à variação de rotação.
- Conservação de energia: se as forças não dissipativas (como atrito estático que não realiza trabalho) atuam, a energia mecânica total (cinética translacional + cinética rotacional + potencial gravitacional) é conservada. Se houver superfície sem atrito, não há torque dessa superfície e a rotação pode permanecer constante; ainda assim a energia mecânica total se conserva (não há perda), mas a repartição entre formas de energia muda.
Com essas peças, vamos montar os dois cenários e calcular a altura máxima.
Passo 3
Caso A — o plano inclinado tem atrito suficiente para que a esfera continue rolando sem deslizar ao subir.
- Na base do plano a esfera tem velocidade
e . A energia mecânica inicial (na base) é apenas cinética (escolhemos potencial zero na base):
- Substituindo
e :
- Simplificando:
- Na altura máxima
toda essa energia cinética (translacional + rotacional) vira energia potencial gravitacional , logo
- Cancelando
e isolando :
Passo 4
Caso B — o plano inclinado é liso (sem atrito). A superfície horizontal ainda podia fornecer atrito para fazer a esfera rolar antes de subir, então ao atingir a base a esfera tem novamente
e
. Ao subir o plano sem atrito:
- Não existe força de atrito tangencial sobre a esfera, portanto não há torque da superfície que altere
. Assim permanece igual a durante a subida; a energia rotacional permanece constante. - A única energia que se transforma em potencial é a energia translacional. Assim, na altura máxima
vale
porque a energia rotacional
permanece com a esfera e não contribui para subir.
- Cancelando
e isolando :
Passo 5
Comparação dos dois resultados:
- Com atrito no plano:
. - Sem atrito no plano:
.
Como
, segue que
Numericamente,
, ou seja, com atrito o pico é 40% maior.
Intuição final (rápida e amigável): quando o plano tem atrito, esse atrito (estático) fornece o torque necessário para reduzir a rotação enquanto a esfera sobe, de modo que a energia rotacional também pode ser convertida em energia potencial. Se o plano for liso, não há torque que toque na rotação; a rotação “fica guardada” e não ajuda a subir — só a energia de translação sobe. Portanto a altura alcançada sem atrito é menor.
Resposta
Menor.