Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado.
X^prime=(ll2 & 1 3 & 4) X-binom17 e^t ; Xp=binom11 e^t+binom1-1 t e^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
vec Xp(t)=binom11e^t+binom1-1t,e^t
satisfaz o sistema
vec X'=2&13&4vec X-binom17e^t
Para isso, vamos calcular de um lado vec Xp' e do outro !A,vec Xp-binom17e^t, onde A=2&13&4, e mostrar que são iguais.

Passo 2

Calculemos vec Xp'(t). Escrevendo
vec Xp(t)=A,e^t+B,t,e^t, A=binom11,;B=binom1-1,
temos, pela regra do produto,
vec Xp'(t) = A,e^t+Bddtl(t,e^tr) = A,e^t+Bl(e^t+t,e^tr) = l(A+Br)e^t+B,t,e^t
Como A+B=binom11+binom1-1=binom20, concluímos
vec Xp'(t) =binom20e^t+binom1-1t,e^t

Passo 3

Agora calculemos
A,vec Xp(t)-binom17e^t = Al(A,e^t+B,t,e^tr)-binom17e^t = l(A,Ar)e^t+l(A,Br)t,e^t-binom17e^t
Temos
A,A =2&13&4binom11 =binom37, A,B =2&13&4binom1-1 =binom1-1
Logo
A,vec Xp-binom17e^t =binom37e^t+binom1-1t,e^t-binom17e^t =binom20e^t+binom1-1t,e^t

Passo 4

Comparando os dois resultados, vemos que
vec Xp'(t) =binom20e^t+binom1-1t,e^t = A,vec Xp(t)-binom17e^t
Logo a igualdade do sistema está satisfeita.

Resposta

vec Xp(t) é de fato uma solução particular do sistema dado.

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