Determine se os vetores X1=binom11 e^-2 t e X2=binom1-1 e^-6 t são soluções de um sistema X^prime=A X. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em (-infty,+infty).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais
vec X1(t)=11e^-2t, vec X2(t)=1-1e^-6t,
e pede para (i) mostrar que existe matriz constante A tal que vec Xi' = A,vec Xi e (ii) verificar se vec X1,vec X2 formam um conjunto fundamental em (-infty,infty). Vamos usar o fato de que, se vec v,e^lambda t satisfaz vec X'=Avec X, então Avec v=lambdavec v.

Passo 2

Calculemos a derivada de vec X1:
vec X1'(t) =ddtl(11e^-2tr) =-211e^-2t
Para satisfazer vec X1'=Avec X1 deve valer
A11 =-211,
ou seja, 11 é vetor próprio de A com valor próprio -2.

Passo 3

Calculemos a derivada de vec X2:
vec X2'(t) =ddtl(1-1e^-6tr) =-61-1e^-6t
Para satisfazer vec X2'=Avec X2 deve valer
A1-1 =-61-1,
isto é, 1-1 é vetor próprio de A com valor próprio -6.

Passo 4

Tomemos a matriz de mudança de base formada pelos vetores próprios:
P=1 & 1 1 & -1, D=-2 & 0 0 & -6
Então A=P,D,P^-1. Como
det P=-2, P^-1=1-2-1 & -1 -1 & 1 =tfrac12 & tfrac12 [6pt] tfrac12 & -tfrac12,
segue, ao multiplicar, que
A=-4 & 2 [3pt]2 & -4 ]

Passo 5

Para testar se vec X1 e vec X2 são linearmente independentes em toda R, basta calcular o Wronskiano (determinante da matriz fundamental):
W(t) =det e^-2t & e^-6t [3pt] e^-2t & -,e^-6t =-2,e^-8tneq 0 forall tin(-infty,infty)
Como W(t) nunca zera, as soluções são linearmente independentes em todo R.
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Resposta

As funções vec X1 e vec X2 são soluções do sistema
vec X'=Avec X, A=-4 & 2 [3pt]2 & -4,
e formam um conjunto fundamental em (-infty,infty).
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