Verifique se o vetor u=(1,2,3) é combinação linear dos vetores v1=(1,1,5), v2=(1,0,3) e v3=(0,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor u=(1,2,3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1=(1,1,5), v2=(1,0,3) e v3=(0,1,2).
Conteúdo: combinação linear em R^3 e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escrevemos
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=u
isto é,
(alpha1+alpha2,;alpha1+alpha3,;5alpha1+3alpha2+2alpha3)=(1,2,3)
Dessa igualdade extraímos o sistema
alpha1 + alpha2 = 1,
alpha1 + alpha3 = 2,
5alpha1 + 3alpha2 + 2alpha3 = 3

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos
alpha2 = 1 - alpha1, alpha3 = 2 - alpha1
Substituindo na terceira:
5alpha1 + 3(1-alpha1) + 2(2-alpha1) = 3
5alpha1 + 3 - 3alpha1 + 4 - 2alpha1 = 3
(5 - 3 - 2)alpha1 + 7 = 3
0cdotalpha1 + 7 = 3
7 = 3,
o que é um absurdo.

Passo 4

O sistema é inconsistente, logo não existem alpha1,alpha2,alpha3 que satisfaçam a combinação. Assim, u não pertence ao subespaço gerado por v1,v2,v3.

Resposta

u não é combinação linear de v1,v2 e v3.

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