Verifique se o vetor
é combinação linear de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor
é combinação linear dos vetores
e
. Os dados fornecidos são:
Passo 2
O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares
e
tais que
Aqui
e
são números reais desconhecidos que devemos tentar encontrar. Se encontrarmos tais
e
, então
é combinação linear de
e
; se não for possível encontrá‑los, então não é.
Passo 3
Escrevendo a igualdade componente a componente, com
e
desconhecidos:
Isso dá um sistema de duas equações (uma para cada coordenada):
Passo 4
Resolver a primeira equação é imediato porque o coeficiente de
é zero:
Expliquei: para isolar
dividiu‑se ambos os lados por
.
Passo 5
Substituir
na segunda equação para achar
:
Calcule passo a passo:
então
Isolando
:
Passo 6
Encontramos
e
. Para ter certeza, verificamos calculando a combinação linear:
que é exatamente
. Logo a solução está correta.
Passo 7
Interpretação final e observação extra: como existem
e
que satisfazem a igualdade, concluímos que
é combinação linear de
e
. Além disso, como
e
não são múltiplos um do outro, essa representação é única (em
dois vetores linearmente independentes geram representações únicas).
Resposta
Sim.