Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}.
vec{u}=(-4,2), vec{v}=\left(0, \frac{1}{2}\right), vec{w}=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{w} é combinação linear dos vetores \vec{u} e \vec{v}. Os dados fornecidos são:
  • \vec{u}=(-4,2)
  • \vec{v}=\left(0,\tfrac{1}{2}\right)
  • \vec{w}=(1,0)

Passo 2

O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares \alpha e \beta tais que
\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} = \vec{w}.
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos que devemos tentar encontrar. Se encontrarmos tais \alpha e \beta, então \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}; se não for possível encontrá‑los, então não é.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente, com \alpha e \beta desconhecidos:
\alpha(-4,2) + \beta\left(0,\tfrac{1}{2}\right) = (1,0).
Isso dá um sistema de duas equações (uma para cada coordenada):
-4\alpha + 0\beta = 1,
2\alpha + \tfrac{1}{2}\beta = 0.

Passo 4

Resolver a primeira equação é imediato porque o coeficiente de \beta é zero:
-4\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\frac{1}{4}.
Expliquei: para isolar \alpha dividiu‑se ambos os lados por -4.

Passo 5

Substituir \alpha = -\tfrac{1}{4} na segunda equação para achar \beta:
2\!\left(-\tfrac{1}{4}\right) + \tfrac{1}{2}\beta = 0.
Calcule passo a passo:
2\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right) = -\tfrac{1}{2},
então
-\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\beta = 0.
Isolando \beta:
\tfrac{1}{2}\beta = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \beta = 1.

Passo 6

Encontramos \alpha = -\tfrac{1}{4} e \beta = 1. Para ter certeza, verificamos calculando a combinação linear:
-\tfrac{1}{4}\vec{u} + 1\vec{v} = -\tfrac{1}{4}(-4,2) + (0,\tfrac{1}{2}) = (1,-\tfrac{1}{2}) + (0,\tfrac{1}{2}) = (1,0),
que é exatamente \vec{w}. Logo a solução está correta.

Passo 7

Interpretação final e observação extra: como existem \alpha e \beta que satisfazem a igualdade, concluímos que \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Além disso, como \vec{u} e \vec{v} não são múltiplos um do outro, essa representação é única (em \mathbb{R}^2 dois vetores linearmente independentes geram representações únicas).

Resposta

Sim. \vec{w} = -\dfrac{1}{4}\vec{u} + 1\vec{v}

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