Seja a forma quadrática q(x, y)=x^{2}+4 x y-2 y^{2}. Determine:
a) A matriz simétrica A que representa q(x, y).
b) As matrizes P e D que diagonalizam ortogonalmente \left(A=P D P^{\mathrm{t}}\right) a matriz A.
c) Uma forma diagonal de q(x, y).

Passo 1

O enunciado apresenta a forma quadrática
q(x,y)=x^{2}+4xy-2y^{2}
e pede:
– (a) a matriz simétrica A que a representa;
– (b) as matrizes P (ortogonal) e D (diagonal) tais que A=P\,D\,P^{\mathrm t};
– (c) uma forma diagonal equivalente a q.
Vamos usar o fato de que qualquer forma quadrática em (x,y) pode ser escrita como
q(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
com A simétrica, e depois aplicar o Teorema Espectral para obter a diagonalização ortogonal.

Passo 2

Para achar A, lembramos que o termo x^{2} corresponde a a_{11}x^{2}, o termo 4xy corresponde a 2a_{12}xy (já que a matriz é simétrica) e o termo -2y^{2} corresponde a a_{22}y^{2}. Assim temos
a_{11}=1,\quad 2a_{12}=4\implies a_{12}=2,\quad a_{22}=-2
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para diagonalizar ortogonalmente A, calculamos seu polinômio característico:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\[6pt] 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(-2-\lambda)-4 =\lambda^{2}+\lambda-6.
As raízes são
\lambda_{1}=2, \quad \lambda_{2}=-3.]

Passo 4

Agora encontramos autovetores:
Para \lambda_{1}=2:
(A-2I)v=0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 2\\[3pt] 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =0 \implies v_{1}=2v_{2}.
Podemos escolher v^{(1)}=(2,1).
Para \lambda_{2}=-3:
(A+3I)v=0 \implies \begin{pmatrix} 4 & 2\\[3pt] 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =0 \implies v_{2}=-2v_{1}.
Escolhemos v^{(2)}=(1,-2).
Normalizando para obter vetores ortonormais:
u^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad u^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Definimos P=[\,u^{(1)}\;u^{(2)}] e D=\mathrm{diag}(2,-3).]

Passo 5

Como P é ortogonal, P^{-1}=P^{\mathrm t}, e portanto
A=P\,D\,P^{\mathrm t}.
Na base (u^{(1)},u^{(2)}), a forma quadrática fica simplesmente
q = 2\,{u_{1}}^{2} \;-\;3\,{u_{2}}^{2}.

Resposta

a) A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.
b) P=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{\sqrt{5}} & \tfrac{1}{\sqrt{5}}\\[6pt] \tfrac{1}{\sqrt{5}} & -\tfrac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & -3 \end{pmatrix}.
c) A forma diagonal equivalente é
q(u_{1},u_{2})=2\,u_{1}^{2}-3\,u_{2}^{2}.]

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