Seja a forma quadrática q(x, y)=x^{2}+4 x y-2 y^{2}. Determine:
a) A matriz simétrica A que representa q(x, y).
b) As matrizes P e D que diagonalizam ortogonalmente \left(A=P D P^{\mathrm{t}}\right) a matriz A.
c) Uma forma diagonal de q(x, y).
Passo 1
O enunciado apresenta a forma quadrática
q(x,y)=x^{2}+4xy-2y^{2}
e pede:
– (a) a matriz simétrica A que a representa;
– (b) as matrizes P (ortogonal) e D (diagonal) tais que A=P\,D\,P^{\mathrm t};
– (c) uma forma diagonal equivalente a q.
Vamos usar o fato de que qualquer forma quadrática em (x,y) pode ser escrita como
com A simétrica, e depois aplicar o Teorema Espectral para obter a diagonalização ortogonal.
Passo 2
Para achar A, lembramos que o termo x^{2} corresponde a a_{11}x^{2}, o termo 4xy corresponde a 2a_{12}xy (já que a matriz é simétrica) e o termo -2y^{2} corresponde a a_{22}y^{2}. Assim temos