Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k,(1,2,3) e (2,1,4)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada par de vetores em R^3 é linearmente dependente (L.D.) ou não. Lembrando que dois vetores vec a e vec b são L.D. se existe lambdainR tal que
vec b = lambda,vec a
Caso não exista tal lambda, dizemos que os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Considere
vec u = 2vecimath - vecjmath + 2vec k, vec v = 5vecimath + 5vecjmath - 2vec k
Suponha que vec v = lambda,vec u. Igualando coordenadas, obtemos o sistema
5 = 2lambda, 5 = -1lambda, -2 = 2lambda
Da primeira equação vem lambda = 5/2, da segunda lambda = -5 e da terceira lambda = -1. Como não há valor de lambda que satisfaça todas simultaneamente, concluímos que vec u e vec v não são L.D.

Passo 3

Agora para os vetores
(1,2,3) e (2,1,4),
suponha
(2,1,4) = lambda,(1,2,3)
Da componente x vem 2 = lambdacdot1implieslambda = 2.
Da componente y vem 1 = lambdacdot2implies1 = 4, o que é impossível.
Portanto não existe lambda que satisfaça a igualdade, e esses vetores também não são L.D.

Resposta

Em ambos os casos os vetores são linearmente independentes (não são L.D.).

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