- Verifique se os vetores são L.I sobre
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente sobre o espaço vetorial
(o espaço de todas as funções reais de variável real).
Informações que temos:
Informações que temos:
- O conjunto considerado é
. - O espaço é
, então igualdade de funções significa igualdade para todo . - A tarefa: decidir se os vetores (funções) de
são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes.
Passo 2
Lembrete do que significa ser L.I., explicado passo a passo:
Dizemos que as funções em são linearmente independentes se, sempre que coeficientes
satisfazem
Dizemos que as funções em
para todo
(onde
é a função nula), então necessariamente
.
Portanto o caminho é: assumir que existe uma combinação linear nula para todo e mostrar que os coeficientes têm que ser todos zero.
Portanto o caminho é: assumir que existe uma combinação linear nula para todo
Passo 3
Escrevo a hipótese de combinação linear nula explicitamente: existe
tais que, para todo
,
Como essa igualdade vale para todo
, posso avaliar em pontos diferentes de
para obter equações lineares nos coeficientes.
Passo 4
Avalio a igualdade em
. Sabendo que
e
, obtenho
Anoto isso como Equação (1).
Passo 5
Avalio a igualdade em
. Sabendo que
e
, obtenho
Anoto isso como Equação (2).
Passo 6
Avalio a igualdade em
. Sabendo que
e
, obtenho
Anoto isso como Equação (3).
Passo 7
Agora resolvo o sistema formado por (1), (2) e (3):
- (1)
. - (3)
.
Somando (1) e (3) dá
Substituindo
em (1) obtemos
. Substituindo
em (2) obtemos
.
Passo 8
Concluímos que os únicos coeficientes
que tornam a combinação linear identicamente zero são
. Isso é exatamente a definição de linearidade independente: somente a combinação trivial gera a função nula.
Resposta
As funções
são linearmente independentes em
.