1. Verifique se os vetores são L.I sobre V.
(f) \{1, \operatorname{sen} x, \cos x\}, V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \{1,\\ \operatorname{sen} x,\\ \cos x\} é linearmente independente sobre o espaço vetorial V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) (o espaço de todas as funções reais de variável real).
Informações que temos:
  • O conjunto considerado é S=\{1,\\ \operatorname{sen} x,\\ \cos x\}.
  • O espaço é V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), então igualdade de funções significa igualdade para todo x\in\mathbb{R}.
  • A tarefa: decidir se os vetores (funções) de S são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes.

Passo 2

Lembrete do que significa ser L.I., explicado passo a passo:
Dizemos que as funções em S são linearmente independentes se, sempre que coeficientes \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} satisfazem
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot \operatorname{sen} x + \gamma\cdot \cos x = 0
para todo x\in\mathbb{R} (onde 0 é a função nula), então necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0.
Portanto o caminho é: assumir que existe uma combinação linear nula para todo x e mostrar que os coeficientes têm que ser todos zero.

Passo 3

Escrevo a hipótese de combinação linear nula explicitamente: existe \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
\alpha + \beta\,\operatorname{sen} x + \gamma\,\cos x = 0.
Como essa igualdade vale para todo x, posso avaliar em pontos diferentes de x para obter equações lineares nos coeficientes.

Passo 4

Avalio a igualdade em x=0. Sabendo que \operatorname{sen}0=0 e \cos0=1, obtenho
\alpha + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \gamma = 0.
Anoto isso como Equação (1).

Passo 5

Avalio a igualdade em x=\tfrac{\pi}{2}. Sabendo que \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1 e \cos\tfrac{\pi}{2}=0, obtenho
\alpha + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \beta = 0.
Anoto isso como Equação (2).

Passo 6

Avalio a igualdade em x=\pi. Sabendo que \operatorname{sen}\pi=0 e \cos\pi=-1, obtenho
\alpha + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot(-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha - \gamma = 0.
Anoto isso como Equação (3).

Passo 7

Agora resolvo o sistema formado por (1), (2) e (3):
  • (1) \alpha + \gamma = 0.
  • (3) \alpha - \gamma = 0.
Somando (1) e (3) dá
(\alpha+\gamma)+(\alpha-\gamma)=2\alpha=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=0.
Substituindo \alpha=0 em (1) obtemos \gamma=0. Substituindo \alpha=0 em (2) obtemos \beta=0.

Passo 8

Concluímos que os únicos coeficientes \alpha,\beta,\gamma que tornam a combinação linear identicamente zero são \alpha=\beta=\gamma=0. Isso é exatamente a definição de linearidade independente: somente a combinação trivial gera a função nula.

Resposta

As funções \,1\,,\\ \operatorname{sen} x\,,\\ \cos x\, são linearmente independentes em V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).

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