Considere o conjunto . Determine se é linearmente independente. Caso contrário, encontre uma base e a dimensão do subespaço gerado.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
em . Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e, caso não sejam, determinar uma base e a dimensão do subespaço que eles geram. Usaremos eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz cujas colunas são esses vetores.
Passo 2
Considere a combinação linear nula
Isso equivale ao sistema matricial
onde
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss em M:
Primeiro, faça R2 := R2 - 2R1 e R3 := R3 - 3R1, obtendo
1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0
Em seguida, faça R3 := R3 - 2R2, que leva a
1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Isso mostra que o posto de M é 2.
Passo 4
Como o posto é 2, há apenas duas colunas independentes. Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2, ou seja, os vetores (1,2,3) e (0,1,2) são independentes e geram todo o subespaço. Portanto, uma base do subespaço gerado por S é
(1,2,3),,(0,1,2),
e a dimensão é 2.
Resposta
S não é linearmente independente.
Uma base do subespaço gerado por S é (1,2,3),(0,1,2) e sua dimensão é 2.