Considere o conjunto S=(1,2,3),(0,1,2),(2,4,6). Determine se S é linearmente independente. Caso contrário, encontre uma base e a dimensão do subespaço gerado.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (1,2,3),,(0,1,2),,(2,4,6)
em R^3. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e, caso não sejam, determinar uma base e a dimensão do subespaço que eles geram. Usaremos eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
Isso equivale ao sistema matricial
onde

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em M:
Primeiro, faça R2 := R2 - 2R1 e R3 := R3 - 3R1, obtendo
1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0
Em seguida, faça R3 := R3 - 2R2, que leva a
1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Isso mostra que o posto de M é 2.

Passo 4

Como o posto é 2, há apenas duas colunas independentes. Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2, ou seja, os vetores (1,2,3) e (0,1,2) são independentes e geram todo o subespaço. Portanto, uma base do subespaço gerado por S é
(1,2,3),,(0,1,2),
e a dimensão é 2.

Resposta

S não é linearmente independente.
Uma base do subespaço gerado por S é (1,2,3),(0,1,2) e sua dimensão é 2.

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