Verifique se os vetores u=(1,2,3), v=(2,4,6) e w=(-1,-2,-3) são coplanares.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores vec u=(1,2,3), vec v=(2,4,6) e vec w=(-1,-2,-3) em R^3. Queremos verificar se eles são coplanares. Para isso, vamos usar o critério do produto misto (triplo produto escalar): três vetores em R^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto for zero.

Passo 2

Calculamos o produto misto
[u,v,w] = u cdot (v times w)
Primeiro achamos o produto vetorial v times w:
v times w = det i & j & k [6pt] 2 & 4 & 6 [3pt] -1 & -2 & -3 = (4 cdot (-3) - 6 cdot (-2)) , i - (2 cdot (-3) - 6 cdot (-1)) , j + (2 cdot (-2) - 4 cdot (-1)) , k
Calculando cada componente:
4 cdot (-3) - 6 cdot (-2) = -12 + 12 = 0, 2 cdot (-3) - 6 cdot (-1) = -6 + 6 = 0, 2 cdot (-2) - 4 cdot (-1) = -4 + 4 = 0
Logo
v times w = (0,0,0)
e assim
[u,v,w] = u cdot (0,0,0) = 0
]

Passo 3

Como o produto misto é zero, o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores é nulo. Isso implica que vec u, vec v e vec w estão no mesmo plano, ou seja, são coplanares.

Resposta

Os vetores são coplanares.

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