Considere a equação da onda
alpha^2 ux x=ut t
Em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais
u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=0, -infty<x<infty
Determine:
a) f(x+a t)
b) f(x-a t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda unidimensional
alpha^2uxx=utt
em -infty<x<infty, com condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0
O método clássico para resolver isso é a fórmula de D’Alembert, que nos diz que a solução geral é a soma de duas “ondas viajantes”
u(x,t)=F(x+alpha t)+G(x-alpha t)

Passo 2

Vamos impor as condições iniciais em t=0. De u(x,0)=f(x) obtemos
F(x)+G(x)=f(x)
De ut(x,0)=0 temos
partialpartial tl[F(x+alpha t)+G(x-alpha t)r]|t=0 =alpha,F'(x)-alpha,G'(x)=0 Longrightarrow F'(x)=G'(x)
Integrando em x, F e G diferem apenas por constante. Para funções que decaem no infinito essa constante é zero, logo
F(x)=G(x)

Passo 3

Como F(x)=G(x), da primeira condição F(x)+G(x)=f(x) segue
2,F(x)=f(x) Longrightarrow F(x)=G(x)=tfrac12,f(x)
Substituindo em D’Alembert, a solução é
u(x,t)=tfrac12,f(x+alpha t)+tfrac12,f(x-alpha t)

Passo 4

Dessa forma identificamos as duas ondas elementares:
a) o termo que depende de x+alpha t é
F(x+alpha t)=tfrac12,f(x+alpha t),
ou seja, a forma f(x+alpha t) se propaga para a esquerda com velocidade alpha.
b) o termo que depende de x-alpha t é
G(x-alpha t)=tfrac12,f(x-alpha t),
ou seja, a forma f(x-alpha t) se propaga para a direita com velocidade alpha.

Resposta

a) A onda elementar f(x+alpha t) é o perfil f viajando para a esquerda com velocidade alpha.
b) A onda elementar f(x-alpha t) é o perfil f viajando para a direita com velocidade alpha.

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