Em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais
Determine:
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda unidimensional
em , com condições iniciais
O método clássico para resolver isso é a fórmula de D’Alembert, que nos diz que a solução geral é a soma de duas “ondas viajantes”
Passo 2
Vamos impor as condições iniciais em . De obtemos
De temos
Integrando em x, F e G diferem apenas por constante. Para funções que decaem no infinito essa constante é zero, logo
F(x)=G(x)
Passo 3
Como F(x)=G(x), da primeira condição F(x)+G(x)=f(x) segue
2,F(x)=f(x) Longrightarrow F(x)=G(x)=tfrac12,f(x)
Substituindo em D’Alembert, a solução é
u(x,t)=tfrac12,f(x+alpha t)+tfrac12,f(x-alpha t)
Passo 4
Dessa forma identificamos as duas ondas elementares:
a) o termo que depende de x+alpha t é
F(x+alpha t)=tfrac12,f(x+alpha t),
ou seja, a forma f(x+alpha t) se propaga para a esquerda com velocidade alpha.
b) o termo que depende de x-alpha t é
G(x-alpha t)=tfrac12,f(x-alpha t),
ou seja, a forma f(x-alpha t) se propaga para a direita com velocidade alpha.
Resposta
a) A onda elementar f(x+alpha t) é o perfil f viajando para a esquerda com velocidade alpha.
b) A onda elementar f(x-alpha t) é o perfil f viajando para a direita com velocidade alpha.