Verifique se os vetores \vec{a}=(1,1,1), \vec{b}=(2,3,4) e \vec{c}=(3,4,5) são coplanares utilizando o produto misto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{a}=(1,1,1), \vec{b}=(2,3,4) e \vec{c}=(3,4,5) são coplanares. O conteúdo principal é produto misto de vetores no \mathbb{R}^3, pois três vetores são coplanares se, e somente se, seu produto misto for zero.

Passo 2

Lembrando que o produto misto de \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} é dado por
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}.
A condição de coplanaridade é
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} pelo determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot4-1\cdot3) -\mathbf{j}(1\cdot4-1\cdot2) +\mathbf{k}(1\cdot3-1\cdot2) =(1,\,-2,\,1).

Passo 4

Agora o produto misto:
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} =(1,\,-2,\,1)\cdot(3,\,4,\,5) =1\cdot3+(-2)\cdot4+1\cdot5 =3-8+5=0.

Passo 5

Como o produto misto ficou igual a zero, concluímos que os três vetores são coplanares.

Resposta

Os vetores são coplanares.

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