Mostre que (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} representa o volume do paralelepípedo formado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} e calcule esse volume para \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,2,0), \vec{w}=(0,0,3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar do vetor \vec{u}\times\vec{v} com \vec{w}, isto é
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w},
é igual ao volume (orientado) do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. O tema é o produto misto (ou triplo) de vetores em \mathbb{R}^3 e sua interpretação geométrica. Para resolver, vamos usar a definição de produto vetorial (área do paralelogramo formado por dois vetores) e a decomposição de \vec{w} na direção normal à base.

Passo 2

Lembramos que o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular ao plano de \vec{u} e \vec{v} cuja norma é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\sin\theta,
sendo \theta o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Geometricamente, \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo de base \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Para obter o volume do paralelepípedo, projetamos \vec{w} na direção normal à base. Se \varphi é o ângulo entre \vec{w} e \vec{u}\times\vec{v}, a altura relativa à base é \|\vec{w}\|\cos\varphi. Então o volume (orientado) é
\text{Volume} = (\text{área da base}) \times (\text{altura}) = \|\vec{u}\times\vec{v}\|\;\bigl(\|\vec{w}\|\cos\varphi\bigr).á
Mas, por definição de produto escalar,
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = \|\vec{u}\times\vec{v}\|\;\|\vec{w}\|\;\cos\varphi,
logo esse produto misto é exatamente o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Se quisermos o volume escalar (sempre positivo), basta tomar o valor absoluto.

Passo 4

Agora calculamos para \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,2,0) e \vec{w}=(0,0,3). Primeiro o produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 0\cdot2)\,\mathbf{i} - (1\cdot0 - 0\cdot0)\,\mathbf{j} + (1\cdot2 - 0\cdot0)\,\mathbf{k} = 2\,\mathbf{k}.
Em seguida o produto escalar com \vec{w}:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = (0,0,2)\cdot(0,0,3) = 2\cdot3 = 6.
Como nesse caso tudo está em ângulo reto e positivo, o volume escalar coincide com esse valor.

Resposta

O valor de (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} é 6, que é o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

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