Dados os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,3), encontre o vetor unitário ortogonal a ambos e que tenha a terceira coordenada positiva.

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário ortogonal aos vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,3), com a terceira coordenada positiva.
Para isso, vamos usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos e depois normalizá-lo, escolhendo o sentido que torne a terceira componente positiva.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} usando a regra de Sarrus (ou determinante 3\times 3):
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl(1,1,0\bigr)\times\bigl(2,-1,3\bigr) =(3,-3,-3).

Passo 3

O vetor (3,-3,-3) é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, mas sua terceira componente é negativa. Para ter a terceira coordenada positiva, invertemos o sentido:
\vec{w} =-(3,-3,-3) =(-3,3,3).

Passo 4

Agora calculamos a norma de \vec{w}=(-3,3,3):
\|\vec{w}\| =\sqrt{(-3)^2+3^2+3^2} =\sqrt{9+9+9} =\sqrt{27} =3\sqrt{3}.

Passo 5

Para obter o vetor unitário, dividimos \vec{w} por sua norma:
\vec{e} =\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} =\frac{1}{3\sqrt{3}}\,(-3,3,3) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)

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