Verifique se os vetores vec{u}, \vec{v}, \vec{w} dados abaixo é L.I. ou é L.D.: \vec{u}=(1,-1,1), \vec{v}=(1,-3,1) e \vec{w}=(-2,1,-3).
Resp.: L.I.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores \vec u = (1,-1,1), \vec v = (1,-3,1) e \vec w = (-2,1,-3) em \mathbb R^3 são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). O conteúdo é independência linear, e usaremos a definição: eles são L.I. se a única solução de
\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w = \vec 0
for \alpha=\beta=\gamma=0.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e igualando a cada componente a zero, obtemos
logo \gamma = 0.
Com \gamma=0, a primeira equação vira \alpha + \beta = 0, ou seja, \alpha = -\beta.
Substituindo \alpha=-\beta e \gamma=0 na segunda equação:
-(-\beta) - 3\beta = \beta - 3\beta = -2\beta = 0
dá \beta = 0, e daí \alpha = 0.
Passo 5
Como a única solução é \alpha = \beta = \gamma = 0, concluímos que \vec u, \vec v e \vec w são linearmente independentes.