Verifique se os vetores vec{u}, \vec{v}, \vec{w} dados abaixo é L.I. ou é L.D.:
\vec{u}=(1,-1,1), \vec{v}=(1,-3,1) e \vec{w}=(-2,1,-3).
Resp.: L.I.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec u = (1,-1,1), \vec v = (1,-3,1) e \vec w = (-2,1,-3) em \mathbb R^3 são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). O conteúdo é independência linear, e usaremos a definição: eles são L.I. se a única solução de
\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v + \gamma\,\vec w = \vec 0
for \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando a cada componente a zero, obtemos
\alpha(1) + \beta(1) + \gamma(-2) = 0,
\alpha(-1) + \beta(-3) + \gamma(1) = 0,
\alpha(1) + \beta(1) + \gamma(-3) = 0.

Passo 3

Organizando em forma de sistema:
\begin{cases} \alpha + \beta - 2\gamma = 0,\\\\ -\alpha - 3\beta + \gamma = 0,\\\ \alpha + \beta - 3\gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da terceira:
(\alpha + \beta - 3\gamma) \;-\; (\alpha + \beta - 2\gamma) \;=\;-\,\gamma = 0
logo \gamma = 0.
Com \gamma=0, a primeira equação vira \alpha + \beta = 0, ou seja, \alpha = -\beta.
Substituindo \alpha=-\beta e \gamma=0 na segunda equação:
-(-\beta) - 3\beta = \beta - 3\beta = -2\beta = 0
\beta = 0, e daí \alpha = 0.

Passo 5

Como a única solução é \alpha = \beta = \gamma = 0, concluímos que \vec u, \vec v e \vec w são linearmente independentes.

Resposta

L.I.

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