Obtenha a área do triângulo A B C sendo A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2) e C=(4,-1,5). resp.: 1 / 2 \sqrt{1051}
Passo 1
O problema pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2) e C=(4,-1,5). Informações dadas e o que é pedido:
Pontos dados: A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2), C=(4,-1,5).
Pergunta: calcular a área do triângulo ABC.
Passo 2
Para calcular a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 é útil trabalhar com vetores ligados a um mesmo vértice. Primeiro construímos os vetores \vec{AB} e \vec{AC} a partir das coordenadas dos pontos. A subtração de vetores significa subtrair coordenada a coordenada, isto é:
Explicação curta: \vec{AB} é o vetor que vai de A até B, então pegamos as diferenças das coordenadas de B e A.
Passo 3
A área do triângulo pode ser obtida via produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por \vec{AB} e \vec{AC} é \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|; a área do triângulo é metade disso:
Breve interpretação: o produto vetorial resulta num vetor perpendicular ao plano dos vetores originais, e suas componentes vêm dessas combinações das coordenadas (como fizemos).
Passo 4
Agora precisamos da norma (magnitude) do vetor \vec{AB}\times\vec{AC}. A norma de um vetor (x,y,z) é dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Aplicando: