Obtenha a área do triângulo A B C sendo A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2) e C=(4,-1,5). resp.: 1 / 2 \sqrt{1051}

Passo 1

O problema pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2) e C=(4,-1,5). Informações dadas e o que é pedido:
  • Pontos dados: A=(-3,-2,-1), B=(2,2,2), C=(4,-1,5).
  • Pergunta: calcular a área do triângulo ABC.

Passo 2

Para calcular a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 é útil trabalhar com vetores ligados a um mesmo vértice. Primeiro construímos os vetores \vec{AB} e \vec{AC} a partir das coordenadas dos pontos. A subtração de vetores significa subtrair coordenada a coordenada, isto é:
\vec{AB} = B - A,\qquad \vec{AC} = C - A.
Calculando coordenada a coordenada:
\vec{AB} = (2-(-3),\;2-(-2),\;2-(-1)) = (5,\,4,\,3),
\vec{AC} = (4-(-3),\;-1-(-2),\;5-(-1)) = (7,\,1,\,6).
Explicação curta: \vec{AB} é o vetor que vai de A até B, então pegamos as diferenças das coordenadas de B e A.

Passo 3

A área do triângulo pode ser obtida via produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por \vec{AB} e \vec{AC} é \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|; a área do triângulo é metade disso:
\text{área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|.á
Agora calculamos o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}. Usamos a fórmula determinantal para o produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 5 & 4 & 3 \\\\ 7 & 1 & 6 \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \big(4\cdot6 - 3\cdot1,\; -(5\cdot6 - 3\cdot7),\; 5\cdot1 - 4\cdot7\big).
Calculando cada termo:
4\cdot6 - 3\cdot1 = 24 - 3 = 21,
-(5\cdot6 - 3\cdot7) = -(30 - 21) = -9,
5\cdot1 - 4\cdot7 = 5 - 28 = -23.
Logo
\vec{AB}\times\vec{AC} = (21,\,-9,\,-23).
Breve interpretação: o produto vetorial resulta num vetor perpendicular ao plano dos vetores originais, e suas componentes vêm dessas combinações das coordenadas (como fizemos).

Passo 4

Agora precisamos da norma (magnitude) do vetor \vec{AB}\times\vec{AC}. A norma de um vetor (x,y,z) é dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Aplicando:
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \sqrt{21^{2} + (-9)^{2} + (-23)^{2}}.
Calculando os quadrados:
21^{2}=441,\qquad (-9)^{2}=81,\qquad (-23)^{2}=529.
Somando:
441 + 81 + 529 = 1051.
Portanto
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \sqrt{1051}.

Passo 5

Usando a fórmula da área do triângulo em \mathbb{R}^3,
\text{área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|.á
Substituímos a norma calculada no passo anterior para obter a área do triângulo (o resultado final está na seção de resposta).

Resposta

\tfrac{1}{2}\sqrt{1051}

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