Determine a projeção ortogonal do vetor vec{u} na direção do vetor vec{a}. Determine também a norma de tal projeção (medida algébrica da projeção). (b) \vec{u}=(1,1,2) e vec{a}=(4,4,-7)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
Pedidos: (1) determinar a projeção ortogonal do vetor \vec{u} na direção do vetor \vec{a}; (2) determinar a norma dessa projeção entendida como a medida algébrica (ou seja, a componente algébrica de \vec{u} ao longo de \vec{a}).\n
Dados: \vec{u}=(1,1,2) e \vec{a}=(4,4,-7).
Passo 2
Conceito útil 1 — produto escalar: para dois vetores \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) o produto escalar é
\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Vou calcular \vec{u}\cdot\vec{a}. Usando os componentes:
Explicação rápida: multiplicamos \vec{a} por um escalar que corresponde à fração do alongamento de \vec{a} que representa a componente de \vec{u} nessa direção.
Passo 5
Aplicando a fórmula com os números que já calculei: \vec{u}\cdot\vec{a}=-6 e \vec{a}\cdot\vec{a}=81. O escalar é
Interpretação: o sinal negativo indica que a componente de \vec{u} está no sentido oposto ao de \vec{a}. Se quiser a norma (magnitude positiva) da projeção vetorial, é \left|\text{comp}_{\vec{a}}(\vec{u})\right|=\tfrac{2}{3}. Posso verificar rapidamente que essa magnitude coincide com \|\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}\|: calculei \mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(-\tfrac{8}{27},-\tfrac{8}{27},\tfrac{14}{27}\right); sua norma é