Determine a projeção ortogonal do vetor vec{u} na direção do vetor vec{a}. Determine também a norma de tal projeção (medida algébrica da projeção).
(b) \vec{u}=(1,1,2) e vec{a}=(4,4,-7)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pedidos: (1) determinar a projeção ortogonal do vetor \vec{u} na direção do vetor \vec{a}; (2) determinar a norma dessa projeção entendida como a medida algébrica (ou seja, a componente algébrica de \vec{u} ao longo de \vec{a}).\n
  • Dados: \vec{u}=(1,1,2) e \vec{a}=(4,4,-7).

Passo 2

Conceito útil 1 — produto escalar: para dois vetores \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) o produto escalar é
\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Vou calcular \vec{u}\cdot\vec{a}. Usando os componentes:
\vec{u}\cdot\vec{a}=1\cdot4+1\cdot4+2\cdot(-7)=4+4-14=-6.

Passo 3

Conceito útil 2 — norma e quadrado da norma: a norma de \vec{a} é \|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}. Primeiro calculo \vec{a}\cdot\vec{a}:
\vec{a}\cdot\vec{a}=4^2+4^2+(-7)^2=16+16+49=81.
Portanto
\|\vec{a}\|=\sqrt{81}=9.

Passo 4

Fórmula da projeção vetorial (projeção ortogonal de \vec{u} sobre a direção de \vec{a}):
\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.
Explicação rápida: multiplicamos \vec{a} por um escalar que corresponde à fração do alongamento de \vec{a} que representa a componente de \vec{u} nessa direção.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os números que já calculei: \vec{u}\cdot\vec{a}=-6 e \vec{a}\cdot\vec{a}=81. O escalar é
\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\frac{-6}{81}=-\frac{2}{27}.
Multiplico esse escalar por \vec{a}=(4,4,-7):
\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=-\frac{2}{27}(4,4,-7)=\left(-\frac{8}{27},-\frac{8}{27},\frac{14}{27}\right).

Passo 6

Medida algébrica da projeção (componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{a}): a fórmula é
\text{comp}_{\vec{a}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\|\vec{a}\|}.
Usando \vec{u}\cdot\vec{a}=-6 e \|\vec{a}\|=9,
\text{comp}_{\vec{a}}(\vec{u})=\frac{-6}{9}=-\frac{2}{3}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a componente de \vec{u} está no sentido oposto ao de \vec{a}. Se quiser a norma (magnitude positiva) da projeção vetorial, é \left|\text{comp}_{\vec{a}}(\vec{u})\right|=\tfrac{2}{3}. Posso verificar rapidamente que essa magnitude coincide com \|\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}\|: calculei \mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(-\tfrac{8}{27},-\tfrac{8}{27},\tfrac{14}{27}\right); sua norma é
\sqrt{\left(-\tfrac{8}{27}\right)^2+\left(-\tfrac{8}{27}\right)^2+\left(\tfrac{14}{27}\right)^2} =\frac{1}{27}\sqrt{64+64+196}=\frac{\sqrt{324}}{27}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3},
confirmando a coerência.

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(-\dfrac{8}{27},-\dfrac{8}{27},\dfrac{14}{27}\right)\n
Medida algébrica da projeção: -\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados