Seja \mathcal{P} o paralelogramo A B D C que tem a diagonal A D sobre a reta r_{1}: x-y=1, o lado A B sobre a reta r_{2}: 2 x-y=2 e o lado B D paralelo ao vetor v=(2,1). Determine os vértices A, B, C e D supondo que |A D|=\sqrt{8} e D tem abscissa positiva.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os vértices A,B,C,D de um paralelogramo A B D C sabendo as seguintes informações:
  • a diagonal \,A D\, está sobre a reta r_{1}: x-y=1;
  • o lado \,A B\, está sobre a reta r_{2}: 2x-y=2;
  • o lado \,B D\, é paralelo ao vetor v=(2,1);
  • |A D|=\sqrt{8};
  • a abscissa de D é positiva (ou seja, x_D>0).
Vou usar essas informações para encontrar coordenadas de A,B,C,D. Primeiro identifico claramente que A é o ponto comum entre a reta do lado A B e a reta que contém a diagonal A D, ou seja, A é interseção de r_1 e r_2. Em seguida uso a direção de r_1 para posicionar D a uma distância \sqrt{8} de A. Depois encontro B impondo que B está em r_2 e que B D é paralelo a v. Finalmente obtenho C pela relação dos vetores do paralelogramo (mediante a propriedade do ponto médio das diagonais).

Passo 2

Calcular A\) como interseção de \(r_1\) e \(r_2\). Resolver o sistema \[\begin{cases} x-y=1,\\[4pt] 2x-y=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(2x-y)-(x-y)=2-1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Substituindo em (x-y=1] vem
1-y=1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto
A=(1,0).]

Passo 3

Determinar D. A reta r_1: x-y=1 tem vetor diretor paralelo a (1,1) (porque a equação x-y=1 tem coeficiente angular 1). Assim qualquer ponto sobre r_1 pode ser escrito como A+t(1,1) para algum real t. Então
D=A+t(1,1)=(1+t,\,0+t)=(1+t,\,t).
A condição de comprimento |A D|=\sqrt{8} implica que o vetor AD=t(1,1) tem norma \sqrt{8}. A norma de t(1,1) é
\|t(1,1)\|=|t|\sqrt{1^2+1^2}=|t|\sqrt{2}.
Portanto
|t|\sqrt{2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad |t|=2.
Como a abscissa de D deve ser positiva e x_D=1+t, temos duas opções t=2 ou t=-2. Se t=-2 então x_D=1-2=-1 (negativo), portanto escolhemos t=2. Assim
D=(1+2,\,2)=(3,2).

Passo 4

Determinar B. Sabemos que B está em r_2 e que B D é paralelo a v=(2,1). Se B D é paralelo a v, existe um escalar s tal que
D-B=s(2,1).
Isto dá a parametrização
B=D-s(2,1)=(3-2s,\;2-s).
Impor que B satisfaça a equação da reta r_2:2x-y=2. Substituindo as coordenadas de B:
2(3-2s)-(2-s)=2.
Calcule passo a passo:
6-4s-2+s=2 \quad\Rightarrow\quad 4-3s=2 \quad\Rightarrow\quad -3s=-2 \quad\Rightarrow\quad s=\tfrac{2}{3}.
Substituindo s=\tfrac{2}{3} em B:
B=\Bigl(3-2\cdot\tfrac{2}{3},\;2-\tfrac{2}{3}\Bigr)=\Bigl(3-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{4}{3}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{5}{3},\;\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 5

Determinar C. Para um paralelogramo os pontos médios das diagonais coincidem. Como uma diagonal é A D e a outra é B C, o ponto médio M de A D é igual ao ponto médio de B C. Usando coordenadas isso dá a fórmula
C = A + D - B.
Calcule
C=(1,0)+(3,2)-\Bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr) =\Bigl(4-\tfrac{5}{3},\;2-\tfrac{4}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{7}{3},\;\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança): calcular AB e DC e comparar, e calcular BD e AC.
  • AB=B-A=\bigl(\tfrac{5}{3}-1,\tfrac{4}{3}-0\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).
  • DC=C-D=\bigl(\tfrac{7}{3}-3,\tfrac{2}{3}-2\bigr)=\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr)=-AB, logo AB\parallel DC e têm mesmo comprimento.
  • BD=D-B=(3-\tfrac{5}{3},2-\tfrac{4}{3})=\bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2}{3}(2,1), que é paralelo a v=(2,1) como exigido.
  • Distância AD=\sqrt{(3-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}, conforme pedido.
    Tudo confere.

Resposta

A=\bigl(1,0\bigr)
B=\bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3}\bigr)
C=\bigl(\tfrac{7}{3},\tfrac{2}{3}\bigr)
D=\bigl(3,2\bigr)

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