Seja
o paralelogramo
que tem a diagonal
sobre a reta
, o lado
sobre a reta
e o lado
paralelo ao vetor
. Determine os vértices
e
supondo que
e
tem abscissa positiva.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os vértices
de um paralelogramo
sabendo as seguintes informações:
- a diagonal
está sobre a reta ; - o lado
está sobre a reta ; - o lado
é paralelo ao vetor ; -
; - a abscissa de
é positiva (ou seja, ).
Vou usar essas informações para encontrar coordenadas de
. Primeiro identifico claramente que
é o ponto comum entre a reta do lado
e a reta que contém a diagonal
, ou seja,
é interseção de
e
. Em seguida uso a direção de
para posicionar
a uma distância
de
. Depois encontro
impondo que
está em
e que
é paralelo a
. Finalmente obtenho
pela relação dos vetores do paralelogramo (mediante a propriedade do ponto médio das diagonais).
Passo 2
Calcular
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
Substituindo em (x-y=1] vem
Portanto
]
Portanto
Passo 3
Determinar
. A reta
tem vetor diretor paralelo a
(porque a equação
tem coeficiente angular
). Assim qualquer ponto sobre
pode ser escrito como
para algum real
. Então
A condição de comprimento
implica que o vetor
tem norma
. A norma de
é
Portanto
Como a abscissa de
deve ser positiva e
, temos duas opções
ou
. Se
então
(negativo), portanto escolhemos
. Assim
Passo 4
Determinar
. Sabemos que
está em
e que
é paralelo a
. Se
é paralelo a
, existe um escalar
tal que
Isto dá a parametrização
Impor que
satisfaça a equação da reta
. Substituindo as coordenadas de
:
Calcule passo a passo:
Substituindo
em
:
Passo 5
Determinar
. Para um paralelogramo os pontos médios das diagonais coincidem. Como uma diagonal é
e a outra é
, o ponto médio
de
é igual ao ponto médio de
. Usando coordenadas isso dá a fórmula
Calcule
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança): calcular
e
e comparar, e calcular
e
.
-
. -
, logo e têm mesmo comprimento. -
, que é paralelo a como exigido. - Distância
, conforme pedido.
Tudo confere.