Verifique se W=\left\{(x, y) \in \Re^{2} \mid y=x\right\} é ou não um subespaço de \Re^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y)\in \Re^2 \mid y = x\}
é um subespaço de \Re^2. Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial: é necessário mostrar que
  1. \mathbf{0}=(0,0)\in W,
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo: \mathbf{0}=(0,0) satisfaz y = x pois 0 = 0. Logo \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos (x,y)\in W e (u,v)\in W. Então y = x e v = u. Sua soma é
(x,y) + (u,v) = (\,x+u,\;y+v\,).
Como y=x e v=u, temos y+v = x+u. Portanto (x+u,y+v) satisfaz a mesma condição e
(x,y)+(u,v)\in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja (x,y)\in W e \lambda\in \Re. Como y=x,
\lambda\,(x,y) = (\lambda x,\;\lambda y) = (\lambda x,\;\lambda x)
satisfaz \lambda x = \lambda x, logo
\lambda\,(x,y)\in W.

Resposta

W é um subespaço de \Re^2.)

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