Verifique se W=\left\{(x, y) \in \Re^{2} \mid y=x\right\} é ou não um subespaço de \Re^{2}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y)\in \Re^2 \mid y = x\}
e pede para verificar se W é subespaço de \Re^2. Para isso vamos usar o critério de subespaço:
  1. W não é vazio (contém o vetor nulo).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor nulo de \Re^2 pertence a W. O vetor nulo é (0,0) e satisfaz a condição y=x pois 0=0. Logo,
(0,0)\in W,
mostrando que W\neq\emptyset.

Passo 3

Verificar fechamento em relação à soma. Seja (x_1,y_1)\in W e (x_2,y_2)\in W. Então y_1=x_1 e y_2=x_2. A soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Como y_1+y_2 = x_1 + x_2, o vetor soma também satisfaz a condição y=x, logo
(x_1+x_2,\;y_1+y_2)\in W.

Passo 4

Verificar fechamento em relação à multiplicação escalar. Seja \lambda\in\Re e (x,y)\in W com y=x. Então
\lambda\,(x,y) = (\lambda x,\;\lambda y).
Como \lambda y = \lambda x, o vetor resultante satisfaz \tilde y = \tilde x, logo
(\lambda x,\;\lambda y)\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de \Re^2.

Resposta

W é subespaço de \Re^2.

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